用QR分解来解方程AX=b

资 源 简 介

用QR分解来解方程AX=b

详 情 说 明

QR分解是一种将矩阵分解为正交矩阵Q和上三角矩阵R的有效方法，常用于求解线性方程组AX=b。当使用Householder变换进行QR分解时，我们可以得到一个数值稳定的解法。

基本思路是首先对系数矩阵A进行QR分解，得到A=QR。由于Q是正交矩阵，其转置等于逆矩阵，原方程可以转化为RX=Q^Tb。由于R是上三角矩阵，这个新方程可以通过简单的回代法求解。整个过程避免了直接计算矩阵的逆，提高了数值稳定性。

Householder变换通过一系列反射操作将矩阵逐步转化为上三角形式，相比其他方法如Gram-Schmidt正交化具有更好的数值稳定性。每个Householder反射子都能将矩阵的一列中特定位置以下的元素归零，最终累积形成Q矩阵。这种方法的优势在于计算复杂度相对较低且适合并行计算。

对于实际应用中的病态矩阵问题，QR分解配合Householder变换往往能比直接使用高斯消元法获得更精确的解。特别是当处理超定方程组时，这种方法自然地给出了最小二乘解，使其成为科学计算中的标准工具之一。