求解L1范数最小化问题的凸优化工具包

资 源 简 介

求解L1范数最小化问题的凸优化工具包

详 情 说 明

L1范数最小化是一类重要的凸优化问题，在信号处理、机器学习以及统计建模中有着广泛应用。其核心目标是寻找稀疏解，通过L1正则化实现特征选择或噪声抑制。针对这类问题，现代凸优化工具包通常提供以下6种典型求解方案：

线性规划转化法 将原始问题转化为线性规划形式，利用单纯形法或内点法求解。这是最经典的求解思路，尤其适合中小规模问题。

近端梯度法（Proximal Gradient） 对不可微的L1项使用近端算子，结合梯度下降处理光滑部分。适用于目标函数可分解为光滑与非光滑项的情形。

交替方向乘子法（ADMM） 通过变量分裂和增广拉格朗日法将问题分解为多个子问题迭代求解。在大规模分布式计算中表现优异。

迭代收缩阈值算法（ISTA/FISTA） 基于软阈值操作的快速算法，FISTA通过Nesterov加速达到O(1/k²)收敛速度，适合高维稀疏恢复问题。

坐标下降法 依次沿坐标方向优化，每次迭代只更新单个变量。对稀疏性强的模型效率显著，常用于LASSO回归。

二阶锥规划（SOCP）重构 通过凸松弛将问题转化为二阶锥规划，利用内点法求解。在带约束的L1优化场景中（如基追踪去噪）具有理论优势。

这些方法各具特点：线性规划和SOCP保证全局最优但计算成本较高；梯度类算法更适合大规模数据；而ADMM在并行化方面表现突出。实际选择时需权衡问题规模、精度需求和计算资源。