Lagrange乘子法用于解约束最优化问题

资 源 简 介

Lagrange乘子法用于解约束最优化问题

详 情 说 明

Lagrange乘子法是解决约束优化问题的经典方法，其核心思想是将约束条件融入目标函数中，构造拉格朗日函数，从而将有约束问题转化为无约束问题求解。

该方法适用于等式约束的优化问题。具体来说，给定目标函数 ( f(x) ) 和一组等式约束 ( h_i(x) = 0 )，我们可以构造拉格朗日函数 ( L(x, lambda) = f(x) + sum lambda_i h_i(x) )，其中 ( lambda_i ) 称为拉格朗日乘子。

极值条件由拉格朗日函数对变量 ( x ) 和乘子 ( lambda ) 的偏导数为零决定，即求解方程组 ( nabla_x L = 0 ) 和 ( nabla_{lambda} L = 0 )。这一条件在经济学、物理学和机器学习等领域有广泛应用，例如在支持向量机（SVM）的优化问题中就使用了拉格朗日对偶性。

拉格朗日乘子法不仅能帮助找到极值点，还能通过乘子的值分析约束条件的敏感性。对于不等式约束的优化问题，可以结合KKT条件进一步扩展该方法的应用范围。