提供几种著名的大型线性方程组迭代算法

资 源 简 介

提供几种著名的大型线性方程组迭代算法

详 情 说 明

在处理大型线性方程组时，直接解法（如高斯消元）往往因计算复杂度和存储需求过高而不适用。迭代算法因其内存友好和可扩展性成为主流选择。以下是几种经典的迭代算法：

共轭梯度法（CG, Conjugate Gradient） CG是求解对称正定线性方程组的最著名迭代方法。它通过构造一组共轭的搜索方向，确保每次迭代都能最小化残差向量的某种范数。CG的显著特点是理论上能在最多n步内收敛（n为矩阵维度），实际中因浮点误差可能需要更多步。

预处理共轭梯度法（PCG, Preconditioned CG） 为了加速CG的收敛，PCG引入了预处理技术。通过选择一个合适的预处理矩阵（如不完全Cholesky分解或代数多重网格），PCG能显著改善系数矩阵的条件数，从而减少迭代次数。

Lanczos方法 Lanczos最初是为求解矩阵特征值问题设计的，但也可用于线性方程组。它通过构造Krylov子空间的三对角矩阵逼近原问题。对于对称矩阵，Lanczos与CG在数学上等价，但实现视角不同。

最小残差法（MINRES, Minimal Residual） MINRES专为对称不定矩阵设计，通过最小化残差的2-范数来逼近解。与CG不同，MINRES不要求矩阵正定，因此在处理更广泛的对称问题时更具鲁棒性。

这些算法均属于Krylov子空间方法，核心思想是通过逐步扩展子空间来逼近精确解。选择算法时需考虑矩阵特性（对称性、正定性）和问题规模，必要时结合预处理技术优化性能。