分式线性递推数列极限的案例分析

资 源 简 介

分式线性递推数列极限的案例分析

详 情 说 明

分式线性递推数列是指形如aₙ₊₁=(p·aₙ+q)/(r·aₙ+s)的数列形式，这类问题在数学分析和竞赛数学中经常出现。其极限分析的核心在于寻找数列可能收敛到的固定点。

分析这类数列的极限时，首先需要假设极限存在并设为L，代入递推公式解方程L=(pL+q)/(rL+s)。这个方程的解称为不动点，可能有一个或两个实数解，也可能无实数解。如果数列收敛，则极限必为某个不动点。

判断收敛性需要考察递推函数的性质。若函数在不动点附近的导数绝对值小于1，则该不动点是吸引的，数列会收敛到该点；反之则可能发散或收敛于其他点。此外，初始值的选择也会影响数列的收敛行为。

这类问题常通过变量替换转化为更简单的线性递推关系。例如当有两个不动点时，可通过线性分式变换将问题转化为等比数列求解；当只有一个不动点时，则可考虑倒数变换。

典型案例包括计算连分数极限、特定迭代过程的稳态值等。理解分式线性递推有助于处理更复杂的非线性递推关系，在算法分析、动力系统等领域都有重要应用。