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Householder矩阵是数值线性代数中一种重要的正交变换工具，广泛应用于矩阵QR分解、特征值计算等问题中。其核心思想是通过镜射变换将向量投影到指定超平面，具有数值稳定性高、计算效率好的特点。

在数值分析中，Householder变换通过构造反射矩阵实现向量的规范化。给定一个非零向量v，可以计算对应的Householder矩阵H = I - 2uu^T/(u^Tu)，其中u是经过设计的反射向量。这个矩阵具有对称性和正交性，能一次性将向量的多个分量清零，特别适合用于将矩阵逐步化为上三角形式。

MATLAB实现时通常会封装为独立函数处理向量反射运算。关键步骤包括：计算向量的2-范数，确定反射向量的符号以避免数值抵消，最后按公式生成变换矩阵。实际应用中更倾向于使用隐式算法避免显式构造矩阵，通过向量运算直接作用于被变换矩阵，显著提升大规模计算的效率。

相比Givens旋转，Householder变换更适合对矩阵的整列进行操作，在QR分解中通常能减少约50%的浮点运算量。其在MATLAB的qr函数底层就有应用，是处理病态矩阵和最小二乘问题的基石方法。理解其原理对于开发稳定的数值算法至关重要。