三种实现QR分解的程序

资 源 简 介

三种实现QR分解的程序

详 情 说 明

QR分解是将矩阵分解为正交矩阵Q和上三角矩阵R的重要技术，在数值计算和线性代数中应用广泛。本文介绍三种经典实现方式的核心思路。

Givens变换法 通过一系列平面旋转矩阵（Givens矩阵）逐步消去矩阵下三角元素。每个Givens矩阵只作用于两行数据，通过精心设计的旋转角度使特定元素归零。这种方法的优势在于可以并行化处理稀疏矩阵，适合嵌入式系统等内存受限场景。

Householder变换法 利用反射变换矩阵（Householder矩阵）逐列处理。对每一列向量构造一个反射超平面，将当前列下方元素全部归零。相比Givens变换，该方法计算量更小且数值稳定性更强，是LAPACK等数学库的首选实现方式。

Schmidt正交化法 基于Gram-Schmidt正交化过程，通过对矩阵列向量逐步正交化和单位化得到Q矩阵，同时记录投影系数构成R矩阵。虽然直观易懂，但数值计算中可能出现正交性损失，通常需要配合再正交化技术改进。

三种方法各有适用场景：Givens变换适合局部更新，Householder适合稠密矩阵高效分解，而Schmidt法则更常用于教学演示。实际应用中还需考虑矩阵条件数、硬件架构等因素选择最优方案。