4阶龙格库塔方程

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4阶龙格库塔方程

详 情 说 明

4阶龙格库塔法（RK4）是求解常微分方程最经典的数值方法之一，它通过加权平均四个不同位置的斜率值来获得比欧拉法更高精度的解。这个方法的名称来源于两位德国数学家Runge和Kutta，4代表其精度达到四阶。

该方法的核心思想是：在已知当前步的解yn和步长h的情况下，通过计算四个不同位置的斜率k1到k4，然后进行加权平均来预测下一步的解yn+1。这四个斜率分别代表：起点斜率、中点斜率、另一个中点斜率以及终点的预估斜率。通过这种精心设计的权重分配，RK4方法可以在每个步长内实现较高的计算精度。

具体实施步骤可分为四步斜率计算和一个加权更新：首先计算起点处的斜率k1；然后用k1预估中点处的斜率k2；接着用k2重新预估中点处的斜率k3；最后用k3预测终点处的斜率k4。最终的下一步预测值yn+1由当前值yn加上这四个斜率的加权和得到，其权重分配为1:2:2:1的比例关系。

RK4方法的优势在于它既保持了较高的计算精度（局部截断误差为O(h^5)），又不需要计算高阶导数，这使得它成为工程和科学计算中最常用的微分方程数值解法之一。特别适合处理那些解析解难以求得，但对精度要求较高的微分方程问题。