混沌时间序列最大李雅普诺夫指数计算工具

资 源 简 介

本项目旨在利用小数据量法准确计算混沌系统时间序列的最大李雅普诺夫指数。该方法核心在于通过相空间重构技术将一维时间序列转化为高维空间轨迹。计算流程首先包括对原始序列进行预处理，随后通过自相关法确定最佳时间延迟，利用高斯伪近邻法或C-C法确定最小嵌入维数。在重构的相空间中，程序会为每一个参考点寻找其最近邻点，并限制其演化轨迹必须属于不同的轨道分支。通过跟踪这些近邻点对随着时间演化的发散情况，计算所有点对平均发散距离的对数随时间变化的序列。最后，程序通过自动识别或手动指定线性增长区域，利用最小二乘法进行线性回归

详 情 说 明

基于小数据量法的混沌时间序列最大李雅普诺夫指数计算工具

项目介绍

本项目是一套用于计算混沌系统时间序列最大李雅普诺夫指数（Largest Lyapunov Exponent, LLE）的工具。李雅普诺夫指数是表征动力系统混沌特性的重要定量指标，它衡量了相空间中相邻轨迹随时间指数级发散或收敛的速率。

工具采用鲁棒性较强的小数据量法，通过对一维时间序列进行相空间重构，追踪近邻点对的演化轨迹，最终利用线性回归方法估算出最大李雅普诺夫指数。该方法对数据长度依赖度较低，且具有较好的抗噪声干扰能力。

功能特性

• 仿真数据生成：内置经典Lorenz混沌系统生成器，用于算法验证与测试。
• 自动参数估计：

- 利用自相关函数下降到临界值的点来自动确定最佳延迟时间 $tau$。 - 通过快速傅里叶变换（FFT）分析系统主频率，自动估计平均周期，以排除轨道内近邻点的相关性干扰。

• 动态演化追踪：在重构的相空间中寻找全局最近邻点，并记录其在离散时间步长下的发散情况。
• 线性回归拟合：提供自动截取线性增长区域并进行最小二乘法拟合的功能，斜率即对应最大李雅普诺夫指数。
• 直观可视化：集成多维度图表展示，包括时域序列、相空间轨迹、对数散离曲线及拟合结果。

系统要求

• 运行环境：MATLAB R2016b 或更高版本。
• 核心组件：MATLAB ODE求解器（如ode45）、FFT计算组件以及基础绘图库。

实现逻辑与详细功能说明

主程序按照动力学系统分析的标准流程执行，具体步骤如下：

1. 信号生成与预处理 程序首先利用 ode45 求解器数值模拟 Lorenz 吸引子。系统参数设定为混沌典型的 $sigma=10, beta=8/3, rho=28$。获取三维状态变量中的第一个分量作为待分析的一维离散时间序列。

2. 核心参数估计

• 延迟时间 ($tau$)：通过计算时间序列的自相关系数，寻找其下降到初始值 $1-1/e$ 处所对应的滞后点。
• 嵌入维数 ($m$)：程序设定为三维（$m=3$），旨在为 Lorenz 系统提供足够的维度进行相空间展开。
• 平均周期 ($P$)：利用 FFT 获取序列的频谱，找到幅值最大的主频率分量，以此计算平均周期。该参数在搜索最近邻点时起到“Theiler 窗口”的作用，确保选取的点对不属于同一段连续轨道。

3. 相空间重构 根据内嵌的 $tau$ 和 $m$，将一维序列转化为 $M$ 个重构向量，每个向量代表系统在多维相空间中的一个状态点。

4. 追踪演化距离

• 近邻点搜索：为相空间中的每个向量寻找距离最近的点，且限定两点在时间轴上的索引间距必须大于平均周期。
• 发散距离累计：追踪每对近邻点随时间步 $j$ 演化的欧式距离 $d_k(j)$。
• 求均值处理：对所有参考点对的距离取对数 $ln(d_k(j))$，并计算所有有效轨迹在每个步长下的算术平均值。

5. 结果计算与定性识别

• 拟合斜率：在对数距离序列的初始线性段（默认前50步）进行一次多项式拟合，提取斜率。
• 判别标准：若计算得到的 LLE 大于零，则系统在当前参数下表现为混沌特性；否则为周期或收敛特性。

关键算法与细节分析

• 自相关法确定延迟时间：通过判断信号自身的相关性减弱程度来平衡分量间的独立性与相关性。
• FFT 辅助避开轨道相关性：这是计算 LLE 的关键细节，通过 FFT 准确捕获主频，能有效过滤非真实的轨道收敛，提高计算精度。
• 分阶段可视化逻辑：

- 轨道图：通过三维 plot3 展示相空间吸引子的形态。 - 散离曲线图：用于观察系统是否具有明显的线性增长区，这是判断小数据量法是否适用的重要依据。 - 拟合结果图：直接将观测轨迹与回归直线叠加，确认识别结果的可靠性。