基于分形几何的图像压缩算法实现

资 源 简 介

本项目旨在深入探究分形图像压缩的核心原理及其在MATLAB环境下的算法实现。分形压缩是一种基于图像自身局部自相似性的有损压缩技术，其基本思想是通过寻找迭代函数系统（IFS）来描述图像中的冗余信息。系统工作流程首先将目标图像划分为互不重叠的Range块和允许重叠的Domain块，接着对每个Range块在Domain池中寻找最匹配的基块，并确定最优的仿射变换参数（包括缩放系数、亮度偏移及旋转对称等）。尽管MATLAB在执行效率上相比C/C++语言较长，但其丰富的数学库和便捷的绘图功能非常适合进行分形维数分析和

详 情 说 明

项目介绍

本项目实现了一个基于分形仿射变换的图像压缩与重构系统。利用图像的局部自相似性，通过寻找不同区域之间的数学映射关系（即迭代函数系统 IFS）来实现有损压缩。与传统的变换编码不同，分形压缩存储的是生成图像的“函数参数”而非像素点本身，通过解码端的多次迭代，最终能够逼近原始图像的细节。

功能特性

图像预处理：支持多格式（JPG, PNG, TIF, BMP）读取，自动进行灰度化处理、浮点型归一化以及图像边界裁剪，确保图像尺寸符合分块算法要求。 动态Domain池构建：通过滑动窗口步长提取Domain块，并将其降采样至Range块大小，形成用于匹配的候选库。 全搜索式编码匹配：针对每一个Range块，在Domain池中遍历搜索，并对每个候选块施加8种对称变换（旋转与翻转），以寻找最优的特征映射。 最小二乘参数计算：利用最小二乘法精确计算仿射变换中的缩放系数（s）与亮度偏移（o），并实施缩放系数限制以保证解码端收敛。 迭代重构解码：采用随机起点或零矩阵作为初值，通过多次应用分形码本进行映射迭代，最终恢复原始图像。 质量评估与指标：系统自动计算并输出峰值信噪比（PSNR）、编码总耗时以及估算的压缩比。

使用方法

1. 在MATLAB环境下运行主脚本程序。
2. 弹出文件选择对话框后，选择一张本地图像。若取消选择，系统将自动生成一个内置的波峰测试图像。
3. 程序将自动开始编码搜索过程。由于编码过程需要遍历全图所有候选块及8种对称变换，处理时间取决于图像分辨率。
4. 编码完成后，控制台将显示编码总耗时。
5. 程序将自动进行10次解码迭代，并实时更新重构结果。
6. 最后弹出的窗口中会对比显示原始图像与重构图像。

系统要求

软件环境：MATLAB R2016a 或更高版本。 硬件环境：建议具备 8GB 以上内存，由于编码过程涉及大量嵌套循环计算，更快的 CPU 可显著缩短处理时长。 依赖库：仅需 MATLAB 自带的图像处理工具箱（Image Processing Toolbox）。

实现逻辑说明

1. 图像分块：系统将原始图像划分为互不重叠的“Range块”（默认 8x8）和允许重叠的“Domain块”（默认 16x16）。
2. 构建候选池：Domain块经过双线性内插缩小为 Range 块的尺寸，消除尺寸差异，以便于进行像素级的匹配。
3. 仿射变换搜索：对于每一块 Range 区块：

• 遍历 Domain 池中所有缩小后的块。
• 对每个 Domain 候选块逐一应用 8 种对称模式（包含 0°、90°、180°、270° 旋转，上下翻转，左右翻转，转置及反转置）。
• 在每种模式下，通过最小二乘法计算方程 R = s * D + o 的系数，其中 R 为 Range 块向量，D 为变换后的 Domain 向量。
• 记录使均方误差（MSE）最小的 Domain 索引、对称索引、s 值及 o 值，并将其存入码本。

1. 收敛性保障：在计算参数后，将缩放因子 s 的绝对值限制在 0.75 以内，确保其符合合同映射原理，从而使解码端能稳定收敛。
2. 解码恢复：解码器只需要分形码本。它在一张初始的全黑图像上，按照码本指定的映射关系，不断地将旧图像的 Domain 区域提取、缩小、变换后映射到新图像的 Range 区域。随着迭代次数增加，图像细节逐渐显现。

核心算法与关键函数分析

代码块处理逻辑：采用矩阵向量化操作提取图像块，并利用公式计算 Domain 和 Range 的统计量（如平方和、乘积和等），以快速求解线性回归模型。 apply_symmetry 函数：核心辅助函数，通过 switch 结构实现了 8 种几何变换。利用 MATLAB 内置的 rot90、flipud、fliplr 以及转置操作，高效覆盖了正方形区块在二维空间的所有等距变换。 迭代映射算法：解码过程利用了不动点理论。虽然初始图像内容是全黑的，但由于仿射变换是合同映射，经过多次迭代，每一步产生的误差都会逐步缩小，最终计算结果会收敛到 IFS 的不动点（即重构出的原始图像）。 评价指标计算：通过 MSE 计算峰值信噪比（PSNR），直观反映了压缩前后的图像质量。压缩比则通过计算码本存储所需的总比特数与原始像素总比特数的比值来估算。

总结

该算法完整展示了分形理论在数字化图像领域的应用。通过 MATLAB 丰富的数学库和便捷的绘图功能，实现了从“像素”到“数学关系”再回到“像素”的闭环过程，不仅能够实现有效的图像压缩，也为医学影像和卫星图像传输研究提供了算法参考。