基于CV模型与水平集的变分图像分割系统

资 源 简 介

该项目实现了经典的Chan-Vese（CV）主动轮廓模型，该模型是Mumford-Shah图像分割泛函在分片常数假设下的简化应用，是变分图像处理领域的核心方法之一。 其核心功能在于通过最小化能量泛函来实现目标与背景的自动分离，特别适用于那些边界定义模糊、梯度信息缺失或包含复杂噪声的图像分割任务。 实现方法上，项目采用了水平集（Level Set）演化技术，将演化曲线嵌入到高一维的曲面函数中，从而能够自然地处理分割目标的拓扑结构变化，如目标的合并与分裂。 算法通过迭代求解非线性偏微分方程（PDE），在每步迭

详 情 说 明

项目介绍

本项目实现了一个基于Chan-Vese（CV）主动轮廓模型与Mumford-Shah变分框架的图像分割系统。该项目利用水平集（Level Set）演化技术，将图像分割问题转化为能量泛函最小化的最优化问题。在分片常数（Piecewise Constant）的假设下，该系统能够通过迭代计算自动提取图像中的目标边缘。

其核心优势在于不需要依赖图像的梯度信息，因此对边界模糊、低对比度以及含有噪声的图像具有极强的鲁棒性。同时，由于采用了高维水平集函数表示演化曲线，系统能够自动处理目标在演化过程中的拓扑结构变化（如合并与分裂）。

功能特性

1. 自动拓扑变换处理：采用水平集演化技术，能够自然表达分割目标的合并与分裂，无需由人工干预曲线重组。
2. 区域信息驱动：基于全局区域的平均灰度（c1/c2）驱动曲线演化，而非局部梯度，有效应对边缘缺失问题。
3. 多项能量约束：集成了长度平滑项（Mu）、面积约束项（Nu）以及区域拟合项，确保分割边界平滑且精确。
4. 实时动态可视化：算法执行过程中动态展示水平集曲线的演化轨迹，便于直观观察分割进度。
5. 能量演收敛监控：自动计算并绘制迭代过程中的能量泛函收敛曲线，提供数值稳定性参考。
6. 完整输出体系：系统不仅提供最终的分割轮廓，还自动生成用于后续处理的二值化掩膜（Mask）。

系统要求

• 运行环境：MATLAB R2016b 或更高版本。
• 依赖工具箱：Image Processing Toolbox（用于图像读取、灰度转换及距离变换等基础操作）。
• 输入格式：支持常见图像格式（如.png, .jpg, .tif），默认包含MATLAB内置示例。

实现逻辑详解

算法的执行流程严格遵循变分法与偏微分方程（PDE）的数值求解框架，具体步骤如下：

1. 图像预处理：

系统读取输入图像后，首先将其转换为双精度浮点型并进行归一化处理（[0, 1]区间），确保数值计算的稳定性。

1. 水平集初始化：

在图像区域内定义初始水平集函数 $phi$。代码默认在图像中心构建一个矩形区域，其中内部设为负值，外部设为正值，形成初始演化界面。

1. 正则化近似：

为了使不可微的Heaviside函数和Dirac函数可计算，系统引入了正则化参数 $epsilon$，通过 $atan$ 函数对 Heaviside 阶跃函数进行平滑处理，并计算其导数作为正则化的 Dirac 函数。

1. 区域参数估计：

在每一步迭代中，根据当前的水平集函数 $phi$，分别统计 $phi < 0$（内部）和 $phi > 0$（外部）区域的像素平均灰度值 $c_1$ 和 $c_2$。

1. 偏微分方程求解：

* 梯度与曲率计算：利用中心差分法配合Neumann边界条件计算水平集函数的梯度，进而求得界面曲率，该项负责控制轮廓的平滑度。 * 演化力合成：结合区域拟合项（图像值与 $c_1, c_2$ 的偏差方差）与曲率平滑项，构建演化速度场。 * 状态更新：采用半隐式梯度下降法更新 $phi$ 的值。

1. 能量泛函统计：

同步计算并记录包括长度项、内部拟合项和外部拟合项在内的总能量值，用于评估算法收敛状态。

1. 结果输出：

迭代完成后，通过从 $phi$ 中提取零水平截面得到分割曲线，并生成对应的逻辑矩阵作为二值化分割结果。

核心算法与数值架构

1. Heaviside 与 Dirac 正则化：

使用 $H(x) = frac{1}{2}(1 + frac{2}{pi}arctan(frac{x}{epsilon}))$ 实现连续化。这种方法保证了在图像全局范围内，水平集函数即便在远离零水平面的地方也能获得演化动力。

1. 能量泛函构成：

算法旨在最小化以下能量： $E = mu cdot Length(C) + nu cdot Area(inside(C)) + lambda_1 int |I-c_1|^2 dx + lambda_2 int |I-c_2|^2 dx$ 其中 $mu$ 决定了边界的抗噪能力和圆滑程度。

1. 数值平滑技术：

在计算曲率时，为了防止分母为零，引入了极小的正数 $eps$，确保了单位法向量计算的数值稳定性。

1. 重初始化机制（可选）：

虽然正则化CV模型对 $phi$ 的符号距离特性依赖较低，但系统中包含了一个基于距离变换的重初始化函数，用于在必要时恢复水平集函数的形态，防止其梯度过陡或过缓导致计算崩坏。

使用方法

1. 将主程序脚本放置在MATLAB工作路径下。
2. 通过修改代码初期的 imread 参数可更换待分割的目标图像。
3. 调整模型参数（如 mu 控制平滑度，max_iter 控制迭代次数）以适应不同类型的图像。
4. 直接运行程序，系统将弹出两个窗口：

* 全过程演示视窗：展示初始状态、迭代中间态、最终轮廓及二值化结果。 * 能量分析视窗：展示能量随迭代次数下降的曲线，确认算法是否达到稳态。

1. 在命令行窗口查看计算输出的内外区域平均灰度等关键数值统计。