LSSVM多元非线性回归拟合与预测模型

资 源 简 介

本项目旨在通过最小二乘支持向量机算法解决复杂的多元非线性回归建模难题。LSSVM是在传统支持向量机基础上的一种改进，它将原始的二次规划问题转化为解一组线性方程组，从而显著提高了计算效率和收敛速度。

详 情 说 明

基于最小二乘支持向量机(LSSVM)的多元非线性回归分析与拟合预测模型

项目介绍

本项目实现了一种基于最小二乘支持向量机（LSSVM）的多元非线性回归建模方案。与传统支持向量机（SVM）通过二次规划解决不等式约束不同，LSSVM将优化问题转化为求解一组线性方程组，在保证模型泛化能力的同时，极大地提升了计算速度和在大规模数据集上的收敛效率。本项目涵盖了从仿真数据生成、数据预处理、超参数自动化寻优到模型评估与可视化的全流程。

功能特性

1. 端到端建模流程：集成数据模拟、归一化、参数优化、训练预测及结果展示的完整闭环。
2. 网格搜索参数优化：通过双重循环自动寻找正则化参数 gamma 和 RBF 核半径参数 sigma^2 的最优组合。
3. K折交叉验证：内置交叉验证机制，确保超参数选择的科学性，防止模型过拟合。
4. 高效核矩阵计算：采用矩阵化运算方式实现 RBF 核函数，显著减少大样本量下的计算耗时。
5. 多指标性能评估：从均方根误差 (RMSE)、平均绝对误差 (MAE) 和确定系数 (R^2) 三个维度量化模型精度。
6. 全方位可视化分析：提供拟合对比图、预测散点图及误差分布直方图，直观展现模型回归性能。

实现逻辑与流程

1. 模拟数据生成：

构建一个包含 3 维输入特征的非线性系统，通过正弦函数、余弦函数与二次项的组合生成目标值，并添加随机噪声以模拟真实环境中的测量干扰。

1. 数据划分与预处理：

按照 80% 训练集与 20% 测试集的比例进行随机划分。使用 Min-Max 归一化方法将输入和输出数据映射至 [0, 1] 区间，消除量纲差异，加速模型收敛。

1. 超参数寻优：

定义正则化参数 $gamma$ 在 $10^{-2}$ 到 $10^4$ 范围、核参数 $sigma^2$ 在 $10^{-2}$ 到 $10^3$ 范围进行网格搜索。结合 5 折交叉验证，以验证集的平均 RMSE 作为评价指标，锁定模型最优参数。

1. LSSVM 模型训练：

利用最优参数构建 KKT 系统矩阵。通过解析解方式求解线性方程组，获取拉格朗日乘子 alpha 和偏置项 b。

1. 拟合与预测：

将训练集和测试集输入经过训练的模型，并将得到的标准化预测结果进行反归一化还原，计算原始量级下的模型表现。

1. 可视化展示：

生成四轴画布：分别对比训练集和测试集的真实值与预测值曲线，展示测试集的回归散点图（包含回归线与 R^2 指标），并统计测试集预测误差的频数分布。

关键算法细节分析

• 线性方程组核心求解：

LSSVM 的核心在于求解如下方程组： $[0, mathbf{1}^T; mathbf{1}, mathbf{K} + gamma^{-1}mathbf{I}] times [b; alpha] = [0; mathbf{y}]$ 其中 $mathbf{K}$ 是核矩阵，$gamma$ 是正则化常数。代码通过矩阵左除法直接获取系数。

• RBF 核矩阵实现：

为了提高效率，核矩阵计算利用了距离分解公式 $|x-y|^2 = |x|^2 + |y|^2 - 2xy^T$，避免了嵌套循环，利用 MATLAB 的矩阵运算优势加速计算。

• 自定义交叉验证器：

内置了灵活的索引生成函数，能够替代工具箱中的交叉验证方法，实现在不同数据子集上的训练与验证循环，保证了代码的独立性。

使用方法

1. 确保本地已安装 MATLAB 运行环境。
2. 保持项目中的所有内联函数在同一执行环境内。
3. 直接运行主程序脚本，程序将自动完成参数搜索并在命令行窗口输出最优参数及各项性能指标。
4. 运行结束后将自动弹出结果可视化窗口，展示拟合效果。

系统要求

• 软件环境：MATLAB R2016b 及以上版本（需支持 histogram 等绘图函数）。
• 硬件建议：至少 4GB 运行内存，以支持矩阵运算过程中产生的大型 KKT 矩阵存储。