最小二乘法多项式曲线拟合仿真系统

资 源 简 介

该项目实现了一个基于最小二乘法（Least Squares Method）的MATLAB仿真框架，专门用于处理一维数据的多项式回归分析。系统通过对含有随机高斯噪声的原始数据进行建模，核心提供了3次多项式和9次多项式的拟合对比功能。 实现过程中，算法通过构建范德蒙德矩阵并求解正规方程组，计算出最优的多项式系数，使拟合曲线与原始观测数据之间的残差平方和达到最小。

详 情 说 明

最小二乘法多项式曲线拟合仿真系统

项目介绍

本项目是一个基于MATLAB开发的数学建模与仿真工具，旨在通过最小二乘法（Least Squares Method）算法实现一维非线性数据的多项式拟合。系统通过模拟真实世界中含有噪声的观测数据，对比不同阶数多项式在回归分析中的表现，直观展示了模型复杂度、拟合精度与泛化能力之间的关系。

功能特性

1. 仿真数据生成：自动生成基于正弦函数的基准数据，并可注入受控的高斯白噪声，模拟真实的物理观测环境。
2. 多阶多项式对比：系统核心实现了3阶与9阶多项式的并行拟合，方便用户对比“欠拟合”与“过拟合”现象。
3. 矩阵运算实现：不依赖于现成的黑盒函数，通过底层构建范德蒙德矩阵并求解正规方程组来计算最优系数。
4. 综合评价指标：自动计算并输出均方根误差（RMSE）和决定系数（R-squared），提供量化的拟合性能评估。
5. 多维度可视化：提供拟合曲线对比图及残差分布分析图，全方位展示算法效果。

使用方法

1. 确保您的计算机上已安装 MATLAB 环境。
2. 将主程序代码保存为 main.m 文件。
3. 在 MATLAB 命令行窗口中运行 main 命令或直接点击运行按钮。
4. 程序将自动弹出两个绘图窗口，并向控制台输出不同阶数多项式的系数及评价指标。

系统要求

• 软件环境：MATLAB R2016b 或更高版本。
• 硬件要求：标准 PC 配置，无需特殊加速设备。

详细实现逻辑

主要实现流程分为以下几个核心阶段：

1. 环境初始化与参数定义

程序首先清除工作区变量并关闭所有图像窗口。设置采样点数量为30个，自变量范围限定在 [0, 1] 之间，并规定对比的多项式阶数为3阶和9阶。

1. 仿真数据构建

使用 linspace 生成均匀分布的采样点。基准函数采用 y = sin(2 * pi * x)。为了模拟真实观测，通过 randn 函数生成标准差为 0.25 的高斯白噪声。为保证实验结果的可重复性，程序使用了固定种子 (42) 进行随机数初始化。

1. 核心算法实现：最小二乘法求解

针对每一个设定的多项式阶数 n，程序执行以下计算逻辑：

• 矩阵构建：构建一个尺寸为 [采样点数 × (n+1)] 的范德蒙德矩阵，其中每一行代表一个观测样本，各列分别对应 x 的各次幂（从 n 次到 0 次）。
• 方程求解：基于正规方程组 (X'X)w = X'y，利用 MATLAB 的矩阵左除算子 () 直接求解最优权重系数向量 w。这种方法能使预测值与实际值之间的残差平方和达到全局最小。

1. 评价指标计算

• 训练集预测：基于求得的系数计算观测点的预测值。
• RMSE（均方根误差）：计算残差平方期望值的平方根，反映物理量纲上的平均偏差。
• R-squared（决定系数）：通过计算残差平方和（SS_res）与总平方和（SS_tot）的比值，衡量模型对数据波动的解释程度。

1. 数据对比与残差分析

程序生成一个拥有200个点的精细栅格，用于绘制平滑的理想曲线及各阶拟合曲线。同时，系统会开启第二个窗口进行残差分析，使用火柴棒图（stem plot）展示每个观测点的残差分布。

关键算法与实现细节

• 范德蒙德矩阵生成：程序通过循环嵌套实现手写矩阵构造，确保了对多项式回归底层原理的精确体现。
• 拟合预测逻辑：预测函数未调用内置 polyval，而是通过向量化累加各阶幂次项与系数的乘积得到预测序列，保证了计算过程的透明性。
• 可视化策略：在绘图细节上，系统使用不同的颜色（红色与绿色）和线型区分不同阶数的拟合结果，并自动生成包含 R^2 值的动态图例。
• 残差特性检测：通过残差分布图，用户可以直观观察到高阶拟合虽然在采样点处残差较小，但在点与点之间可能产生的剧烈震荡（龙格现象）。