基于EM算法的GMM高斯混合模型聚类分析系统

资 源 简 介

该项目提供了一套完整的MATLAB源代码，用于实现高斯混合模型（GMM）的建模、参数估计及数据聚类分析。其核心功能是利用期望最大化（EM）算法，通过迭代计算来估计多个高斯分布分量的参数，包括均值、协方差矩阵和混合权重。在实现过程中，系统首先采用K-means算法进行初始化以提高收敛效率，随后在期望步（E-Step）计算每个样本点属于各高斯分量的后验概率，在极大化步（M-Step）根据后验概率更新模型参数。该系统能够处理多维特征空间的数据，支持对复杂分布的样本进行柔性聚类（软聚类），即每个样本以概率形式属于

详 情 说 明

基于EM算法的MATLAB高斯混合模型（GMM）实现与数据聚类分析系统

项目介绍

本系统是一个基于MATLAB开发的统计建模与聚类分析工具，核心采用期望最大化（Expectation-Maximization, EM）算法实现高斯混合模型（Gaussian Mixture Model, GMM）。系统通过对多维随机样本的统计特性进行建模，能够自动识别数据中的潜在分布分量，并实现精准的软聚类分析。该工具集成了数据模拟、模型初始化、参数迭代优化及计算结果可视化等功能，适用于模式识别、数据挖掘及统计分析等领域。

功能特性

1. 自动化数据模拟：系统内置三元高斯分布数据生成器，支持自定义均值向量、协方差矩阵和混合比例。
2. 智能初始化机制：集成简易K-means算法进行初次聚类，为EM算法提供优化的初始中心点和协方差估计，显著提升收敛速度。
3. 鲁棒的参数估计：在迭代过程中引入正则化项，有效防止协方差矩阵出现奇异性（Singularity）问题。
4. 动态收敛监控：实时计算并记录对数似然函数值，通过设定阈值自动判断模型是否达到最优解。
5. 直观的可视化展示：同步输出对数似然收敛曲线以及带有二倍标准差等高线的聚类效果图。

使用方法

1. 环境配置：确保计算机已安装MATLAB R2016b或更高版本。
2. 执行流程：在MATLAB命令行窗口中直接运行系统入口函数。
3. 参数调节：根据实际需求，在代码起始位置修改聚类成分数（K）、样本总数（N）或收敛阈值（threshold）。
4. 结果查看：程序运行结束后，将自动弹出图形窗口展示聚类轨迹与分布特征，并在命令行打印详细的模型参数（混合权重、均值向量、协方差矩阵）。

系统要求

1. 软件环境：MATLAB（支持基础矩阵运算与绘图功能即可）。
2. 硬件要求：标准PC配置，建议内存4GB以上以处理大规模数据集。

实现逻辑说明

系统的实现过程严格遵循以下逻辑步骤：

1. 模拟环境构建：设定三个具有不同均值和斜交协方差的分布中心。利用Cholesky分解处理协方差矩阵，将标准正态分布转化为特定分布的样本点。
2. K-means初始化：通过20次内部迭代，利用欧几里得距离将样本点划分为K个初步簇，计算各簇的均值作为EM算法的起始点，并根据各簇样本的离散程度初始化协方差矩阵。
3. E步（Expectation Step）：计算每个样本属于各个高斯分量的后验概率。利用多维高斯概率密度函数公式，结合当前的均值、协方差和混合权重，计算响应度矩阵（gamma）。
4. M步（Maximization Step）：根据E步计算的响应度更新模型参数。混合权重由各分量的总响应度决定；均值通过样本权重的加权平均进行更新；协方差矩阵则通过更新后的均值进行重新估计，并加入1e-6的微调量保证矩阵正定。
5. 结果处理：通过比较连续两次迭代间的对数似然值变化量，判定算法是否收敛。最终利用最大后验概率原则（MAP）确定每个样本的类别归属。

关键算法与技术细节分析

1. 概率密度计算的数值稳定性：在计算高斯分布指数项时，系统采用矩阵化运算，结合逆矩阵（inv）和行列式（det）计算标准化常量。
2. 协方差正则化：在初始化和M步更新中，通过在协方差矩阵对角线上增加微小值（eye(D) * 1e-6），避免了因某一类样本过少或分布过于集中导致的矩阵不可逆问题，增强了系统的健壮性。
3. 聚类结果可视化逻辑：

- 采用不同的色彩区分不同的聚类成分。 - 特征中心点使用“kx”标记（黑色叉号）突出显示。 - 等高线绘制：通过计算协方差矩阵的特征值（eig）和特征向量，确定分布椭圆的长短轴和旋转角度，绘制出代表二倍标准差范围的等高面，直观反映各高斯分量的覆盖范围。

1. 收敛性监控：记录每一次迭代的对数似然值（Log-Likelihood），并绘制随迭代次数变化的曲线，这为验证算法是否陷入局部最优或正常收敛提供了视觉依据。