用四阶亚当斯显式公式求解常微分方程初值问题

资 源 简 介

用四阶亚当斯显式公式求解常微分方程初值问题

详 情 说 明

四阶亚当斯显式公式是一种常用的多步数值方法，用于求解常微分方程的初值问题。相比于单步法（如Runge-Kutta方法），亚当斯显式公式利用前几步的计算结果来提高精度和效率，适用于光滑性较好的微分方程求解。

### 方法概述 亚当斯显式公式属于线性多步法，其核心思想是利用过去几个时间步的函数值来近似当前步的解。四阶亚当斯显式公式在计算当前步的值时，依赖前四个步长的函数值，因此需要先通过其他方法（如Runge-Kutta法）计算出初始几步的解。

### 公式推导 四阶亚当斯显式公式的基本形式为： [ y_{n+1} = y_n + frac{h}{24}(55f_n - 59f_{n-1} + 37f_{n-2} - 9f_{n-3}) ] 其中，( h ) 是步长，( f_i = f(t_i, y_i) ) 是微分方程的右端函数在第 ( i ) 步的计算值。该公式通过多项式插值近似积分，从而得到高阶精度。

### 计算步骤 初始启动：由于亚当斯显式公式需要前几步的解，通常先用四阶Runge-Kutta方法计算前三个点的值。 迭代求解：从第四个点开始，利用亚当斯显式公式逐步推进计算。 误差控制：可通过调整步长或结合隐式公式（如亚当斯预测-校正方法）提高稳定性。

### 优缺点 优点：计算效率高，尤其是对于光滑问题，能减少函数计算次数。 缺点：需要额外启动计算，并且对步长敏感，可能在非光滑解处产生较大误差。

### 适用场景 适用于求解光滑性较好的常微分方程，如物理模拟、工程计算中的动力学问题。对于刚性问题或变化剧烈的方程，可能需要结合隐式方法以提高稳定性。