不同坐标系下相同测量点之间的四元数转换矩阵求解

资 源 简 介

不同坐标系下相同测量点之间的四元数转换矩阵求解

详 情 说 明

在工程和计算机视觉领域，经常需要在不同坐标系之间进行转换。假设我们有一组在坐标系A和坐标系B中测量的相同物理点，如何通过这些点求解坐标系A到坐标系B的转换关系？其中，四元数（Quaternion）是一种高效表示旋转的方式，相比欧拉角，它避免了万向节锁问题，且计算更稳定。

### 问题描述 给定一组在坐标系A和坐标系B下的对应点，我们希望计算坐标系A到坐标系B的旋转矩阵（或四元数）和平移向量。这一过程通常称为点集配准（Point Set Registration），典型方法包括：

计算质心：首先分别计算两组点的质心（均值），并将所有点减去质心，以消除平移影响。 构建协方差矩阵：利用去中心化后的点集，计算协方差矩阵，这有助于找到最佳的旋转关系。 奇异值分解（SVD）：对协方差矩阵进行SVD分解，得到旋转矩阵的最优解。 四元数转换：如果需要四元数表示，可以将旋转矩阵转换为四元数形式，使其更易于后续的计算和插值。

### 四元数的优势 四元数由四个分量组成（实部 + 三个虚部），能紧凑地表示旋转。相比3×3旋转矩阵，四元数占用存储更少，且能避免旋转矩阵的正交性约束问题。此外，四元数插值（如球面线性插值Slerp）在动画和路径规划中十分有用。

### 实际应用 机器人导航：机器人的传感器（如激光雷达、IMU）可能采用不同坐标系，需要统一到世界坐标系。 3D重建：多视角相机采集的数据需对齐到全局坐标系。 姿态估计：无人机、AR/VR设备通常依赖四元数进行高效的姿态更新。

通过这种方法，我们可以准确地建立两个坐标系之间的转换关系，从而在不同传感器或系统之间实现数据的无缝对齐。