数值计算中SOR迭代法的matlab程序

资 源 简 介

数值计算中SOR迭代法的matlab程序

详 情 说 明

SOR（Successive Over-Relaxation）迭代法是求解线性方程组的一种有效数值方法，特别适用于大型稀疏矩阵。作为Gauss-Seidel迭代法的加速版本，它通过引入松弛因子ω来调整迭代步长，从而显著提高收敛速度。

基本原理 SOR方法的核心思想是在Gauss-Seidel迭代公式中加入松弛因子ω（通常1<ω<2）。通过调整ω的值，可以控制每次迭代的修正量：ω=1时退化为Gauss-Seidel法；ω>1时为超松弛，加速收敛；ω<1时为低松弛，可能增强稳定性。

算法关键点 松弛因子选择：最优ω值通常需要通过理论估计或试错法确定，与矩阵性质密切相关。 收敛条件：要求系数矩阵严格对角占优或对称正定，且ω在(0,2)范围内。 终止准则：一般采用残差范数或相邻迭代解的变化量作为停止条件。

MATLAB实现要点 在MATLAB中实现SOR时，通常会： 将系数矩阵分解为下三角、对角和上三角矩阵 通过向量化操作避免显式循环提升效率 动态计算残差并实时监控收敛情况 提供ω参数的灵活输入接口

应用场景 SOR特别适用于热传导方程、泊松方程等偏微分方程的数值求解，在图像处理和计算流体力学中也有广泛应用。其收敛速度优于Jacobi和Gauss-Seidel方法，但实际效果高度依赖ω的选择。

注意事项 不恰当的ω值可能导致发散 对于非对称矩阵需谨慎使用 可通过共轭梯度法等现代迭代法进一步优化性能