牛顿法求解非线性方程组

资 源 简 介

牛顿法求解非线性方程组

详 情 说 明

牛顿法是一种经典的迭代算法，用于求解非线性方程组的数值解。其核心思想是通过局部线性逼近，逐步逼近方程组的真实解。在实现中通常需要三个关键组件：方程组函数、Jacobian矩阵计算函数和主迭代函数。

对于给定的非线性方程组F(x)=0，牛顿法的迭代步骤如下：首先计算当前点的函数值F(x_k)和Jacobian矩阵JF(x_k)，然后解线性方程组JF(x_k)Δx=-F(x_k)得到增量Δx，最后更新解x_{k+1}=x_k+Δx。这个过程重复进行，直到满足收敛条件为止。

在MATLAB实现中，通常会分模块组织代码： 方程组函数F.m：定义方程组左端向量，每个元素对应一个方程 Jacobian矩阵函数JF.m：包含方程组对各变量的偏导数，反映局部变化率 主函数newdim.m：实现牛顿迭代流程，包含初始猜测、迭代循环和终止条件判断

牛顿法的收敛速度是二次的，但在实际应用中需要注意：初始点的选择会影响收敛性，Jacobian矩阵可能奇异导致失败，对于大规模问题计算Jacobian矩阵可能代价高昂。针对这些问题，后续发展出了修正牛顿法、拟牛顿法等改进算法。