线性打靶法计算变系数

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线性打靶法计算变系数

详 情 说 明

线性打靶法是求解边界值问题（BVP）的一种经典数值方法，尤其适用于变系数微分方程。其核心思想是将边界值问题转化为初值问题（IVP）的迭代求解过程，通过不断调整初始条件的“射击”来命中边界条件。

### 方法概述 问题转换：对于给定的二阶变系数微分方程，如 ( y'' + p(x)y' + q(x)y = f(x) )，边界条件通常为 ( y(a) = alpha ) 和 ( y(b) = beta ）。 初值试探：假设初始斜率 ( y'(a) = s )，将问题转化为初值问题，利用数值方法（如Runge-Kutta）从 ( x=a ) 积分到 ( x=b )。 迭代修正：通过牛顿迭代等优化方法调整 ( s )，使得计算得到的 ( y(b) ) 逼近目标值 ( beta )。

### 关键点 变系数处理：系数 ( p(x) ) 和 ( q(x) ) 随 ( x ) 变化，需在每一步数值积分时动态计算。 收敛性：打靶法的成功依赖于初值猜测的合理性和方程的线性特性（非线性问题需多重打靶法）。 可视化：数值解可通过绘图展示，横轴为自变量 ( x )，纵轴为解 ( y(x) )，对比不同迭代步的结果以观察收敛过程。

### 扩展思考 对于刚性方程或高振荡解，可结合自适应步长算法提升精度。若边界条件包含导数项（如混合边界），需调整打靶法的目标函数形式。