多元函数的二阶偏导数构成的方阵

资 源 简 介

多元函数的二阶偏导数构成的方阵

详 情 说 明

黑塞矩阵是多元微分学中的重要工具，它通过系统化组织二阶偏导数来研究函数性质。对于一个n元函数，其黑塞矩阵是一个n×n的对称方阵，主对角线元素是函数对各变量的纯二阶偏导，非对角线元素则是混合偏导。根据克莱罗定理，当二阶偏导连续时，混合偏导与求导顺序无关。

这个矩阵在优化问题中具有核心作用：正定的黑塞矩阵对应局部极小点，负定对应极大点，不定矩阵则意味着鞍点。在机器学习领域，黑塞矩阵出现在牛顿法、拟牛顿法等优化算法中，能提供比梯度下降更精确的曲率信息。

实际应用中，黑塞矩阵的计算可能面临维度灾难，因此发展出了各种近似计算方法。在计算机视觉中，黑塞矩阵还被用于关键点检测，如图像处理中的SURF特征描述子就利用了黑塞矩阵的行列式值。