病态方程的正则化

资 源 简 介

病态方程的正则化

详 情 说 明

病态方程的正则化是解决数值不稳定问题的有效方法。当方程组条件数很大时，微小扰动会导致解的巨大变化，这时就需要引入正则化技术来获得稳定解。

Tikhonov正则化是最常用的方法，其核心思想是在目标函数中增加一个正则项。这个正则项通常采用解的范数，通过引入正则化参数来实现对解的约束。参数的选择很关键，过大会导致解过度平滑，过小则无法抑制噪声。

在MATLAB中实现时，可以利用内置的矩阵运算功能高效完成计算。通过构造增广矩阵，将原问题转化为最小二乘问题，然后利用反斜杠运算符或专用函数求解。对于大型稀疏矩阵，还可以结合迭代方法提高效率。

实际应用时需要注意正则化参数的选取策略，常见的方法包括L曲线法和广义交叉验证法。这些方法能帮助找到噪声抑制和解的保真度之间的最佳平衡点。

正则化技术不仅适用于线性方程，还可以推广到非线性反问题中，是解决各类病态问题的通用工具。