用交替方向乘子法来求解L1正则化问题、BP问题、BPDN问题的一种算法

资 源 简 介

用交替方向乘子法来求解L1正则化问题、BP问题、BPDN问题的一种算法

详 情 说 明

交替方向乘子法（ADMM，Alternating Direction Method of Multipliers）是一种广泛应用于优化问题的迭代算法，特别适合求解带有约束或正则化的复杂问题。它在信号处理、机器学习等领域被广泛采用，尤其适用于稀疏优化任务，如L1正则化问题、基追踪（BP, Basis Pursuit）问题和基追踪去噪（BPDN, Basis Pursuit Denoising）问题。

### L1正则化问题 L1正则化问题通常形式为最小化损失函数加上L1惩罚项，常用于稀疏建模。ADMM通过引入辅助变量，将原问题分解为两个子问题交替求解：一个子问题涉及可微的损失函数（如最小二乘），另一个子问题涉及L1范数，可使用软阈值算子（Soft-Thresholding）高效求解。

### BP问题（基追踪） BP问题的目标是在给定线性约束下最小化L1范数，通常用于稀疏信号恢复。ADMM将其分解为一个线性约束优化问题和一个L1范数最小化问题，通过交替优化原始变量和辅助变量，逐步逼近最优解。

### BPDN问题（基追踪去噪） BPDN是BP问题的噪声容忍版本，在最小化L1范数的同时允许一定的数据拟合误差。ADMM通过引入残差变量，将其转化为一个带约束的优化问题，并交替优化信号变量、残差变量和对偶变量，以平衡稀疏性和数据保真度。

ADMM的优势在于它具有良好的收敛性，能处理大规模问题，并且适用于分布式计算。其核心思想是通过变量分裂和交替优化，将复杂问题拆解为更易求解的子问题，从而提高计算效率。