共轭梯度法 解决非线性优化问题

资 源 简 介

共轭梯度法 解决非线性优化问题

详 情 说 明

共轭梯度法是一种用于求解非线性优化问题的高效迭代算法，尤其适合大规模稀疏问题的求解。在MATLAB中实现共轭梯度法可以显著提升优化问题的求解效率，特别是针对目标函数二阶导数难以计算或存储成本高的情况。

### 核心思想 共轭梯度法通过构造一组共轭方向来逐步逼近最优解。相比于最速下降法，它利用了历史搜索方向的信息，避免了锯齿状的收敛路径，从而大幅提升了收敛速度。对于非线性问题，通常会结合线搜索策略（如Armijo条件）来确定每一步的步长。

### MATLAB实现要点 初始点与梯度计算：选择合理的初始点，并计算目标函数在该点的梯度。 共轭方向更新：根据当前梯度与前一搜索方向，采用Polak-Ribière或Fletcher-Reeves公式更新共轭方向。 线搜索：沿共轭方向执行精确或非精确线搜索，确保目标函数值充分下降。 收敛判断：当梯度范数小于预设阈值或迭代次数达到上限时终止算法。

### 优势与局限 优势：内存占用低，适合大规模问题；收敛速度快于最速下降法。 局限：对非凸问题可能收敛到局部极小值；强依赖于初始条件和线搜索精度。

### 扩展应用 共轭梯度法可结合预处理技术（如不完全Cholesky分解）进一步加速收敛，也可推广至约束优化问题（通过投影梯度法）。在MATLAB中，还可与`fminunc`等内置函数对比验证自定义实现的性能。