求解微分方程

资 源 简 介

求解微分方程

详 情 说 明

微分方程是描述自然现象和工程问题的重要数学工具，可分为常微分方程（ODE）和偏微分方程（PDE）两大类。求解微分方程的核心目标是找到满足给定初值或边值条件的函数。

### 解析解法 对简单微分方程（如可分离变量、线性方程），可通过积分、特征方程等数学技巧获得解析解。例如一阶线性微分方程可通过积分因子法直接求解闭合表达式。

### 数值解法 当解析解难以获得时（如非线性方程），需采用数值方法： 欧拉法：通过离散化步进逼近解，虽简单但精度较低。 龙格-库塔法（如RK4）：利用多阶段斜率计算提高精度，广泛用于科学计算。 有限差分/有限元法：针对PDE将连续问题转化为离散线性方程组求解。

实际应用中常借助工具（如MATLAB的`ode45`或Python的`scipy.integrate`）自动选择算法，平衡效率与精度。理解方程特性（刚性、非线性度）对算法选择至关重要。