第五讲 插值与拟合

资 源 简 介

第五讲 插值与拟合

详 情 说 明

插值与拟合是数值分析中的两大核心工具，主要用于通过已知数据点构建连续函数关系。虽然两者目标相似，但适用场景和数学逻辑有本质区别。

插值算法的核心要求是构建的函数曲线必须严格经过所有已知数据点。当需要保证局部数据的精确性时（如传感器校准、地图等高线绘制），拉格朗日插值、牛顿插值或样条插值成为首选。多项式插值在少量节点时效果良好，但需警惕龙格现象；而三次样条插值通过分段低次多项式，既能保证光滑性又可避免震荡。

拟合方法则更关注整体趋势的逼近，允许函数与数据点存在偏差。最小二乘法是最典型的拟合技术，通过最小化误差平方和来确定最佳函数参数。在数据存在噪声或需要预测长期趋势的场景（如股票走势分析、实验数据处理）中，线性回归、多项式拟合乃至指数拟合都能发挥重要作用。

实际工程中常需要权衡：插值保证精度但可能过拟合，拟合提高泛化性却损失局部准确性。例如GPS轨迹处理可能对关键拐点采用插值，而对平直路段使用线性拟合。这两种技术的组合运用，往往能实现更优的数据建模效果。