classical Gram

资 源 简 介

classical Gram

详 情 说 明

经典Gram-Schmidt正交化方法是数值线性代数中实现QR分解的基础算法之一。该算法通过逐列处理将矩阵A分解为两个特定结构的矩阵乘积：Q是列正交的m×n矩阵，R是n×n上三角矩阵。

其核心思想是逐步构造正交基：对于矩阵A的第k列，首先用前k-1个已正交化的基向量投影，然后从当前列中减去这些投影分量得到新基向量。这个过程本质上是将原始矩阵的列空间分解为一系列正交方向的线性组合。

需要注意的是，经典Gram-Schmidt在数值计算中存在稳定性问题。由于浮点运算误差的累积，算法执行过程中正交性会逐渐丢失，特别是在处理条件数较大的矩阵时。这种数值不稳定性催生了改进的修正Gram-Schmidt算法，后者通过改变投影顺序显著提高了计算精度。

QR分解在最小二乘问题、特征值计算等场景中有重要应用，而理解经典算法的局限性有助于我们更好地使用现代数值计算库中的稳定实现。