Karmarkar的线性规划算法的实现

资 源 简 介

Karmarkar的线性规划算法的实现

详 情 说 明

Karmarkar算法是线性规划领域的一个重要突破，由Narendra Karmarkar于1984年提出。这个算法开创了内点法的先河，相比传统的单纯形法，在最坏情况下具有多项式时间复杂度，理论性能更优。

算法的核心思想是通过在可行域内部构造一系列的点，逐步逼近最优解。与沿着边界移动的单纯形法不同，Karmarkar算法会"穿透"可行域内部，这使得它在处理大规模问题时效率更高。算法首先将问题转化为标准形式，然后通过投影变换将当前点映射到单纯形的中心，在这个变换后的空间中进行优化。

实现该算法时需要特别注意几点：首先是初始可行点的选取，这通常需要通过两阶段法来获得；其次是投影变换的计算，这涉及到矩阵运算和线性代数知识；最后是步长的控制，需要保证迭代点始终在可行域内部且能快速收敛。

虽然理论复杂度优越，但在实际应用中，Karmarkar算法的性能会受到具体问题结构和实现细节的影响。现代优化软件通常会将它与其它技术结合使用，以发挥各自的优势。这个算法不仅推动了优化理论的发展，也为后续的内点法研究奠定了基础。