​求三角对角方程组Tx=f的解

资 源 简 介

​求三角对角方程组Tx=f的解

详 情 说 明

求解三角对角方程组是数值线性代数中的经典问题，特别是在处理具有特定稀疏结构的矩阵时。对于给定的T矩阵，我们可以观察到这是一个非对称的三角对角矩阵（也称为三对角矩阵），其非零元素仅出现在主对角线及其相邻的两条对角线上。

针对这类特殊矩阵，最高效的解法是使用追赶法（也称为Thomas算法），这是一种专门为三对角矩阵设计的算法，计算复杂度仅为O(n)。追赶法的核心思想是将传统的高斯消元法优化为仅针对非零元素的操作，分为"追"（前向消元）和"赶"（反向回代）两个阶段。

在具体实施时，首先通过前向消元将矩阵转化为上三角形式，同时相应地调整右端向量f的值。这个过程中只需要处理三条对角线上的元素，大幅减少了计算量。完成前向消元后，通过反向回代从最后一个方程开始逐步求解各个x的值。对于本例中的5x5矩阵，整个过程仅需约5次除法和15次乘加运算即可完成。

需要注意的是，虽然追赶法效率很高，但要求矩阵满足对角占优条件才能保证数值稳定性。在实际应用中，该方法常见于差分法求解微分方程、样条插值等问题中，这些场景天然会产生三对角线性方程组。