经典的和修正的格拉姆施密图QR正交化

资 源 简 介

经典的和修正的格拉姆施密图QR正交化

详 情 说 明

经典与修正的格拉姆-施密特正交化是QR分解的两种主要算法，用于将矩阵的列向量转化为正交基。两者核心目标相同，但数值稳定性存在显著差异。

经典格拉姆-施密特正交化 通过逐步投影和减法实现正交化：从第一列开始，后续每一列减去其在前序所有正交基上的投影分量。该方法逻辑直观，但在数值计算中可能因舍入误差积累导致正交性逐渐丢失，尤其在条件数较大的矩阵中表现明显。

修正格拉姆-施密特正交化 改进点在于逐次投影方式——每次处理新列向量时，立即减去其在当前已构建的所有正交基方向上的分量，而非一次性减去全部前序投影。这种“迭代修正”策略显著减少了误差传播，提升了数值稳定性。

算例比较区别 假设对近乎平行的列向量矩阵进行正交化，经典方法可能因舍入误差使结果向量偏离正交性，而修正版本能更好地保持向量间的正交关系。例如，在浮点运算中，经典方法可能输出非严格正交的Q矩阵（内积接近但不等于零），修正法则能更精确地满足正交条件。

应用建议 修正版本因稳定性优势成为实际计算的首选，尤其在迭代算法或高维问题中。经典方法仍具教学价值，适合理解正交化的几何原理。