MATLAB同伦延拓非线性方程组全解工具箱

资 源 简 介

本MATLAB工具箱基于同伦延拓法实现非线性方程组高效求解，能够同时追踪实数与复数解路径。通过构造连续变形同伦，从简单方程组已知解出发，精确逼近目标方程组的全部可能解，适用于复杂系统的完备解分析。

详 情 说 明

基于同伦延拓法的非线性方程组全解自研工具箱

项目介绍

本项目实现了一个高效的同伦方程组求解器，专门用于寻找非线性方程组的全部实数解与复数解。通过构建连续变形的同伦路径，系统能够从简单方程组的已知解出发，跟踪参数变化轨迹，逐步逼近目标方程组的全部可能解。该工具箱具有自动路径跟踪、奇点处理、多重解识别等核心功能，特别适用于多项式系统和高维非线性方程组的求解场景。

功能特性

• 全解搜索能力：能够同时获得非线性方程组的全部实数解与复数解
• 自适应路径跟踪：采用智能步长控制的路径跟踪技术，确保收敛稳定性
• 奇点处理机制：自动检测并处理路径跟踪过程中的奇点情况
• 多重解识别：准确识别和分离多重解，避免重复计数
• 稳定性分析：提供解的稳定性评估报告
• 可视化支持：生成收敛路径可视化图形，直观展示求解过程
• 高性能计算：优化的数值算法实现，支持高维方程组求解

使用方法

基本调用格式

% 定义非线性方程组函数句柄 func = @(x) [x(1)^2 + x(2)^2 - 1; x(1) - x(2)^2];

% 设置求解参数 options = struct('StepSize', 0.01, 'Tolerance', 1e-8, 'MaxIter', 1000);

% 调用求解器 results = homotopy_solver(func, options);

参数说明

输入参数：

1. 非线性方程组函数句柄（支持多变量向量函数）
2. 初始猜测解集合（可选，可自动生成）
3. 同伦参数设置（步长控制、容差阈值等）
4. 方程组维度与变量范围约束

输出结果：

1. 全部解的数值矩阵（实数解与复数解分别标识）
2. 解的稳定性分析报告
3. 收敛路径可视化图形
4. 求解过程统计信息（迭代次数、计算时长等）
5. 解的唯一性验证结果

系统要求

• MATLAB R2018a 或更高版本
• 推荐内存：8GB 以上（对于高维问题建议16GB）
• 需要安装以下工具箱：优化工具箱、统计和机器学习工具箱

文件说明

主程序文件实现了同伦延拓算法的核心框架，包括同伦路径的构建与初始化、参数化连续变形的数值实现、路径跟踪过程中的自适应步长控制、奇异点的检测与规避处理、多重解的识别与分类机制，以及求解结果的验证与输出格式化等功能模块。该文件整合了算法的完整流程，为用户提供了一站式的非线性方程组全解求解方案。