MATLAB数值积分与系统离散化工具箱：高级ODE求解算法实现

资 源 简 介

本工具箱提供多种数值积分与系统离散化方法，包括欧拉前差/后差法、梯形公式、通用RK2/RK3龙格-库塔法以及汉明积分法，适用于常微分方程的高效求解与动态系统仿真，助力工程与科研计算。

详 情 说 明

数值积分与系统离散化工具箱（Numerical Integration & System Discretization Toolbox）

项目介绍

本项目是一个专注于常微分方程数值解法和连续系统离散化的 MATLAB 工具箱。它集成了多种经典的数值积分算法，从基础的单步法到高阶多步法，并提供了将连续时间状态空间模型转换为离散模型的专用功能。该工具箱旨在为控制系统分析、动力学系统仿真和数值计算研究提供一套准确、高效的解决方案。

功能特性

• 基础数值积分方法：提供欧拉前差法（显式欧拉）、欧拉后差法（隐式欧拉）和梯形公式（改进欧拉法）这三种基础且重要的数值积分方法。
• 高阶单步积分方法：实现了通用二阶和三阶龙格-库塔法（RK2/RK3），适用于对求解精度有更高要求的场景。
• 多步预测校正算法：集成了汉明积分法，该算法结合了预测子和校正子，通常能提供较高精度的数值解。
• 系统离散化模块：基于状态转移矩阵理论，开发了连续系统状态方程离散化功能，可准确计算离散后的系统矩阵，便于数字控制器设计与离散系统仿真。

使用方法

数值积分求解常微分方程

1. 定义微分方程：创建函数句柄来定义微分方程的右端函数，例如 f = @(t, y) -2 * t * y;。
2. 设置求解参数：指定初始时间 t0、初始状态 y0、积分步长 h 和终止时间 tf。
3. 调用求解器：选择并调用相应的积分方法函数（如 explicit_euler, rk2, hamming_method 等）。
4. 获取结果：函数将返回时间序列 t 和对应的状态数值解 y。部分方法支持可选的结果可视化。

连续系统离散化

1. 输入连续系统矩阵：提供连续时间状态空间模型的系统矩阵 A, B, C, D。
2. 设置离散化步长：指定离散化所用的采样时间 T。
3. 调用离散化函数：使用状态转移矩阵法进行离散化计算。
4. 输出离散系统：函数返回离散后的系统矩阵 Φ（状态转移矩阵）, Γ（输入矩阵）, C, D。

系统要求

• 软件平台：需要 MATLAB R2016b 或更高版本。
• 必要工具箱：本项目主要基于 MATLAB 基础功能，但部分高级绘图或矩阵运算可能依赖于相关工具箱，请确保安装齐全。

文件说明

主程序文件整合了工具箱的核心演示与应用流程。它通过一个统一的入口，展示了不同数值积分算法在典型微分方程上的求解过程，并对求解结果进行精度对比与图形化展示。同时，它也包含了连续系统离散化的完整示例，从定义原系统到输出离散化矩阵，并验证离散模型的准确性。用户可通过运行该文件快速了解工具箱的全部能力，并以此为基础模板进行二次开发。