最小二乘法离散点椭圆拟合工具

资 源 简 介

该项目实现了基于最小二乘准则的平面散点椭圆拟合算法，核心逻辑是针对给定的至少5个二维坐标点，建立通用二次曲线代数方程。通过构建设计矩阵并利用最小二乘原理求解线性方程组，获取代数系数。算法进一步将得到的代数形式参数转化为几何参数，包括椭圆的中心位置、长轴和短轴的长度以及相对于坐标轴的旋转角度。该方法在处理传感器测量数据、医学图像提取以及工业视觉检测中的圆形或椭圆状物体识别方面具有广泛的应用价值。程序具备容错性，能够处理包含噪声的数据集，并通过优化算法确保拟合结果在数学上使得所有采样点到曲线的代数距离平方和最

详 情 说 明

最小二乘法离散点椭圆拟合工具

项目介绍

本项目是一个用于平面散点椭圆拟合的数学工具。它基于最小二乘准则，能够将一组包含噪声的二维坐标点自动拟合为数学意义上的最优椭圆曲线。该工具不仅能给出二次方程的代数系数，还能提取易于理解的几何参数（如中心、长短轴、旋转角），并提供直观的可视化结果，适用于传感器数据处理、工件检测及图像特征提取等领域。

功能特性

1. 鲁棒的数据拟合：采用奇异值分解（SVD）求解代数方程，确保在含有噪声的情况下仍能获得稳定的拟合结果。
2. 自动化参数转换：自动将抽象的二次曲线代数系数（A-F）转换为直观的几何参数（中心坐标、长短轴长度、旋转角度）。
3. 数值稳定性优化：内置数据归一化处理逻辑，通过平移和缩放坐标系，有效防止在大坐标数值下出现的矩阵病态问题。
4. 交互式可视化：实时生成对比图表，展示原始观测点、拟合出的椭圆曲线以及椭圆中心位置。
5. 模拟数据验证：内置带随机噪声的模拟数据生成模块，方便用户快速验证算法的可靠性。

使用方法

1. 环境准备：确保已安装 MATLAB 运行环境。
2. 运行程序：直接运行主控制函数，程序将自动执行以下步骤：

- 生成一组设定好中心值、长短轴和旋转角的模拟散点，并加入高斯随机噪声。 - 调用核心拟合子程序进行计算。 - 在控制台（命令行窗口）输出拟合得到的所有几何参数和代数系数。 - 弹出绘图窗口，对比原始数据与拟合曲线。

1. 自定义数据：用户可修改主函数中的点集输入逻辑，将模拟生成的变量替换为实际采集的坐标矩阵（Nx2 格式，N≥5）。

系统要求

• 软件环境：MATLAB R2016b 或更高版本。
• 硬件要求：无特殊要求，具备基础运算能力的计算机即可。

实现逻辑与算法细节

#### 1. 数据预处理 为了提高线性方程组求解的数值稳定性和精度，程序首先对输入的散点进行归一化。计算所有点的坐标均值，将坐标系平移至数据中心，并根据数据的分布范围进行等比例缩放。这一步能够有效降低设计矩阵中各阶项的量级差异。

#### 2. 设计矩阵构建 基于椭圆的通用代数方程：Ax² + Bxy + Cy² + Dx + Ey + F = 0。对于每一个输入的点 (xᵢ, yᵢ)，构建包含六列的行列式行：[xᵢ², xᵢyᵢ, yᵢ², xᵢ, yᵢ, 1]。将所有点的行组合形成设计矩阵 D。

#### 3. 最小二乘求解 在约束条件 ||a|| = 1（系数向量范数为1）下，通过对设计矩阵 D 进行奇异值分解（SVD）。取最小奇异值所对应的右奇异向量作为最优的代数系数向量。

#### 4. 系数还原 由于计算是在归一化坐标系下完成的，程序通过代数代换将归一化后的系数映射回原始坐标系，从而获得原始尺寸和位置下的 A, B, C, D, E, F 六个系数。

#### 5. 几何参数提取 程序利用代数系数与解析几何公式的对应关系进行转换：

• 中心位置：通过求解偏导数为零的点，即由 B² - 4AC 构成的线性方程组解出。
• 轴长计算：利用二次项矩阵的特征值理论，结合截距项，计算得出长半轴和短半轴的长度。
• 旋转角度：通过 B 与 (A - C) 的正切关系判断椭圆相对于主轴的倾斜程度。

#### 6. 可视化呈现 利用参数方程生成 0 到 2π 范围内的拟合曲线，配合原始离散点进行绘图，通过 axis equal 保证比例显示正确，直观展示拟合精度。