灰色预测GM(1,1)短序列预测算法实现

资 源 简 介

本项目基于灰色系统理论实现了GM(1,1)单变量一阶灰色预测模型，专门用于处理具有一定指数规律且样本量较小的短期预测任务。系统通过对原始非负数据序列进行一阶累加生成变换，将随机波动较大的序列转化为具有单调增长特征的规律序列，进而利用微分方程模型对转化后的数据进行建模分析。程序内部整合了级比检验功能，用于评估原始序列是否满足建模的前提条件，若不满足则提供平滑转换方案。核心算法采用最小二乘法进行参数估计，通过对发展灰数和内生控制灰数的求解，建立响应函数并还原出原始序列的预测值。该工具集成了完整的精度评估体系，

详 情 说 明

灰色预测GM(1,1)短序列预测算法项目说明

项目介绍

本项目是一个基于MATLAB实现的单变量一阶灰色预测模型（GM(1,1)）。该模型旨在解决样本量较小、信息贫乏且具有指数增长趋势的短期序列预测问题。通过对原始数据进行生成变换，将杂乱无章的原始序列转化为具有规律性的生成序列，并利用微分方程拟合发展的动力学特征。该工具通过一套严谨的数学转化与统计检验流程，实现了从数据接入、模型建立到精度评估的完整预测闭环。

功能特性

• 合规性校验：通过级比检验（Class-ratio Test）自动评估原始序列的建模可行性。
• 自适应数据处理：当原始序列不满足级比要求时，系统自动执行平移变换处理，提高序列的平滑度。
• 高精度参数估计：利用最小二乘法（Least Squares）求解发展灰数与灰色作用量，确保模型参数的最优性。
• 全方位精度考核：集成了平均相对误差、级比偏差分析以及后验差统计检验（C值与P值）。
• 自动化结果展示：提供预测数值表格输出及多维度的可视化图表，包括拟合预测曲线与残差分布图。

系统要求

• 软件环境：MATLAB 2016b 及以上版本。
• 硬件环境：无特殊要求，适用于标准通用计算设备。
• 数据要求：输入序列应为非负的观测数据，通常建议样本量在4个以上。

实现逻辑与算法细节

该程序的内部逻辑严格遵循灰色系统理论的标准建模流程：

1. 预处理阶段（级比检验）

程序通过计算序列相邻项的比值，判断数据的指数趋势是否落在理论区间 $[e^{-2/(n+1)}, e^{2/(n+2)}]$ 内。若不满足，则会自动计算并加上一个平移增量，使处理后的序列通过检验，从而增强模型的稳定性。

1. 核心建模阶段（1-AGO与最小二乘）

- 一阶累加生成（1-AGO）：对原始非负序列进行累加，旨在削弱原始数据的随机波动。 - 紧邻均值构造：计算累加序列的均值序列，作为构造数据矩阵 $B$ 的基础。 - 参数识别：构造超定线性方程组，利用最小二乘法公式 $u = (B^T B)^{-1} B^T Y$ 求解模型参数 $a$（发展系数）和 $b$（灰色作用量）。

1. 求解与还原阶段

- 白化响应求解：基于微分方程的解，利用时间序列响应函数计算累加序列的预测值。 - 一阶累减还原（IAGO）：对得到的预测累加序列进行差分运算，并在必要时减去初始阶段加入的平移增量，最终得到原始层面的拟合与预测数值。

1. 精度评估体系

- 残差计算：计算每一时点的绝对残差和相对误差。 - 后验差检验： - 方差比（C值）：残差的标准差与原始序列标准差的比值。 - 小误差概率（P值）：残差与均值之差小于特定阈值的概率。 - 等级判定：根据 $C$ 和 $P$ 的数值，自动将预测精度划分为“好、合格、勉强、不合格”四个等级。

关键过程分析

• 平移转换逻辑：代码中通过 c = max(X0) 进行平移。这一设计能有效应对发展系数 $a$ 过大导致模型失效的问题。
• 响应函数计算：代码通过 exp(-a * k) 的指数形式捕捉非线性特征，这正是灰色预测处理指数性质数据的核心逻辑。
• 可视化输出：

- 上方子图：展示了原始值、模型在历史点位的拟合值以及未来周期的外推预测值，直观体现趋势预测能力。 - 下方子图：通过柱状图反映各观测点的相对误差，并设置了10%的红色警告线，方便用户快速识别个别偏差较大的异常点。

使用方法

1. 在代码开头修改 X0 变量，填入您的历史观测数据序列（非负）。
2. 设置 predict_num 变量，定义需要向未来预测的步长。
3. 运行主程序。
4. 在控制台查看级比检验状态、模型参数及各项精度指标。
5. 参考生成的交互式图表和预测结果表格进行数据分析。