基于总体最小二乘法的ARMA谱估计与建模系统

资 源 简 介

该项目旨在实现一种稳健的ARMA（自回归滑动平均）模型功率谱估计算法，特别强调利用总体最小二乘法（Total Least Squares, TLS）来解决噪声环境下的AR参数估计问题。在传统的ARMA建模中，AR参数通常由扩展尤尔-沃克方程确定，但普通最小二乘法（LS）仅假设观测向量存在误差，而忽略了数据矩阵本身受到的噪声干扰。本系统通过引入TLS算法，对关联的数据矩阵和观测向量构建增广矩阵，并利用奇异值分解（SVD）来同时修正两者的扰动，从而获得在统计学上更优的AR系数估计值。 实现过程中，系统首先对输

详 情 说 明

基于总体最小二乘法的 ARMA 谱估计与 AR 参数建模系统

项目介绍

本项目实现了一个基于总体最小二乘法（Total Least Squares, TLS）的 ARMA（自回归滑动平均）模型参数估计与功率谱分析系统。在信号处理领域，传统的 Yule-Walker 方程通常采用普通最小二乘法（LS）求解 AR 参数，但该方法仅考虑观测向量的误差。本项目通过引入 TLS 算法，能够同时修正数据矩阵和观测向量中的噪声干扰，特别适用于低信噪比环境下的窄带信号分析、频率估计及系统建模。

功能特性

1. 稳健的参数估计：利用 TLS 算法处理高阶扩展尤尔-沃克方程，提升在噪声环境下的 AR 系数估计精度。
2. 双正弦信号分辨率：系统能够有效分辨时域中极其接近的两个频率成分（如 120Hz 与 130Hz）。
3. 完善的建模流程：涵盖了自相关计算、增广矩阵构建、奇异值分解（SVD）、残差分析以及 MA 增益补偿等完整步骤。
4. 多维度结果可视化：提供信号时域图、奇异值分布图、自相关函数图、模型评价指标及最终的功率谱密度曲线。
5. 抗噪性能优化：通过对噪声进行 MA 滤波处理，模拟复杂的预设噪声环境，验证算法的稳健性。

使用方法

1. 打开 MATLAB 软件。
2. 将包含主脚本的代码文件置于当前工作路径。
3. 在命令行窗口输入函数名称并回车运行。
4. 程序将自动生成包含五个子图的可视化窗口，并在控制台输出估算的 AR 系数矩阵和均方误差（MSE）。

系统要求

• MATLAB R2016b 或更高版本。
• Signal Processing Toolbox（信号处理工具箱），用于调用 xcorr、freqz 及 periodogram 等函数。

实现逻辑与功能细节说明分析

#### 1. 仿真信号构造与预处理 系统首先生成包含两个相近频率（120Hz 和 130Hz）的正弦信号作为目标分析对象。为了模拟真实环境，引入了经过 MA（阶数为 2）过程过滤的白噪声，增加了噪声的色度特性，从而构建一个典型的 ARMA 过程。根据预设的信噪比（SNR = 10dB）对信号进行合成。

#### 2. 高阶扩展尤尔-沃克方程（EYW）构建 通过计算输入信号的偏置自相关函数（Biased Autocorrelation），获取其时域统计特征。系统根据指定的 AR 阶数 p、MA 阶数 q 以及方程数量 M，提取自相关序列中延迟大于 q 的部分，构建大小为 M × p 的数据矩阵 A 和长度为 M 的观测向量 b。这种“高阶”处理方式是为了避开自相关函数中受 MA 部分影响的前 q 个值。

#### 3. 总体最小二乘法（TLS）算法实现 这是系统的核心逻辑。

• 增广矩阵构建：将矩阵 A 和向量 b 合并为一个增广矩阵 [A | b]。
• 奇异值分解（SVD）：对增广矩阵进行奇异值分解，提取其特征空间。
• 求解 AR 系数：寻找对应于最小奇异值的右奇异向量（V 矩阵的最后一列）。通过对该向量进行归一化处理（除以其最后一个元素），获得 AR 模型系数 a。这种方法考虑了 A 和 b 同时受扰动的情况，理论上比 LS 更能逼近真实值。

#### 4. 残差分析与 MA 部分补偿 利用估计出的 AR 系数构建全极点滤波器，对原始信号进行逆滤波处理，提取出残差序列。系统计算残差序列的自相关函数及功率密度，以确定 MA 部分的增益等级。虽然代码中 MA 系数简化为单位向量，但通过计算残差功率（Sigma Square）有效地补偿了最终谱图的能量幅值。

#### 5. 功率谱密度（PSD）生成 利用频率响应函数（freqz）分别计算 AR 部分（分母）和 MA 部分（分子）的转移函数。最终的功率谱密度由残差功率与两部分传递函数模平方的乘积组成，并转换为分贝（dB）刻度。

#### 6. 性能评估指标 系统实时计算模型的均方误差（MSE），通过预测信号与原始信号的差异来衡量建模的准确性。同时，通过可视化子图显示增广矩阵的奇异值分布，用户可以观察到奇异值的跌落情况，从而辅助判断模型阶数设置是否合理。

总结

该系统通过 TLS 算法对传统 ARMA 建模进行了改进，有效地解决了常规方法在处理带噪信号时参数估计偏离的问题。其结合了奇异值分解的数值稳定性与扩展尤尔-沃克方程对 ARMA 特性的敏感性，是研究窄带信号特征提取和频谱分析的有效工具。