基于Box-Muller变换的正态分布随机数发生器

资 源 简 介

该项目旨在MATLAB环境下研究并实现一种高质量的正态分布伪随机数生成算法。核心功能基于Box-Muller变换理论，通过将两个相互独立的均匀分布随机数映射到极坐标系中，利用对数变换和三角函数处理，生成一对服从标准正态分布N(0,1)的独立随机变量。项目不仅实现了标准正态分布的生成，还支持通过线性尺度变换和偏移处理，生成具有指定均值（Mean）和标准差（Standard Deviation）的任意正态分布序列。 实现过程中，系统集成了完善的统计验证模块。首先，通过绘制生成序列的频率分布直方图并叠加理论概率

详 情 说 明

基于Box-Muller变换的正态分布伪随机数发生器

项目介绍

本项目在MATLAB环境下实现了一种高效且数学严密的正态分布伪随机数生成方案。核心算法基于Box-Muller变换理论，这是一种利用对数变换和三角函数处理，将两个独立的均匀分布随机变量转换为一对独立且服从标准正态分布变量的精确映射方法。该项目不仅支持生成标准正态分布数据，还具备参数化配置能力，通过线性变换生成任意指定均值（$mu$）和标准差（$sigma$）的正态序列。为了确保生成序列的质量，系统集成了包含误差分析、假设检验及多维度可视化的验证体系。

功能特性

• 精确算法实现：严格遵循Box-Muller变换公式，避免了传统中心极限定理模拟法在计算效率和边缘精度上的不足。
• 参数化生成：支持通过代码预设自定义样本总量、目标均值及目标标准差，满足不同应用场景的需求。
• 可重复性保障：支持设置随机种子，确保在科研及实验过程中生成的随机序列具有可追溯性和可重复性。
• 多维度统计验证：

* 自动计算样本均值、标准差及方差。 * 提供设定值与实际值之间的百分比误差评估。 * 集成Kolmogorov-Smirnov（K-S）假设检验，提供数学维度的正态性判定。

• 丰富的可视化输出：包含PDF曲线拟合图、分位数-分位数（Q-Q）图以及展示变量独立性的散点图。

使用方法

1. 环境配置：打开MATLAB软件。
2. 设置参数：在脚本文件的参数设置区域，根据需求调整样本总量（num_samples）、目标均值（target_mean）、目标标准差（target_std）以及随机种子（rng_seed）。
3. 执行算法：运行该脚本。
4. 查看结果：

* 控制台窗口将实时输出统计分析报告（均值、标准差、误差百分比及K-S检验的P值和结论）。 * 系统将自动弹出两个可视化窗口，展示随机数的分布特性及独立性。

系统要求

• 软件版本：MATLAB R2016a或更高版本。
• 所需工具箱：Statistics and Machine Learning Toolbox（用于执行kstest及qqplot函数）。

实现逻辑与功能细节

该项目通过以下逻辑步骤在代码中实现了完整的功能：

1. 随机数生成核心流程

• 均匀分布采样：利用系统函数生成两组相互独立且服从$[0, 1]$区间均匀分布的随机数向量。
• 极坐标映射（Box-Muller）：应用公式对均匀分布变量进行变换。其中，利用对数运算处理半径分量，利用正余弦函数处理角度分量，从而生成两组相互独立的标准正态分布序列。
• 向量合并与线性变换：将生成的两组序列合并，并应用公式 $X = mu + sigma Z$ 将标准正态分布映射到用户指定的均值和标准差区间。

2. 统计分析模块

• 基础统计量计算：代码通过内置函数对生成的序列进行实时采样，计算实际均值、标准差和方差。
• 误差量化：通过计算实际输出值与设定目标值之间的相对误差百分比，直观反映发生器的精度。

3. 假设检验模块

• 数据标准化：在进行K-S检验前，算法先将生成的数据重新平移并缩放回标准正态分布。
• Kolmogorov-Smirnov检验：调用标准检验程序，在默认0.05的显著性水平下判断样本是否符合正态分布。系统根据计算得出的P值自动输出最终的统计结论，若P值较大则无法拒绝原假设（即服从正态分布）。

4. 结果可视化体系

• 频率分布图：绘制生成样本的直方图，并将其归一化为概率密度。同时，在其上叠加基于理论公式生成的红色正态概率密度曲线（PDF），用于直观观察拟合度。
• Q-Q图检测：利用分位数-分位数图展示样本分位数与理论分位数的对应关系。若数据点紧密贴合对角线，则证明数据在边缘和中心位置均具有良好的正态性。
• 独立性分析：专门绘制二维散点图，通过观察标准正态独立样本序列生成的点集在空间中的分布，验证Box-Muller变换中两组输出序列之间的独立性。

关键算法说明

• 变换公式：

$z_0 = sqrt{-2ln(u_1)} cos(2pi u_2)$ $z_1 = sqrt{-2ln(u_1)} sin(2pi u_2)$ 该公式利用了二维高斯分布的旋转对称性以及指数分布与正态分布半径之间的数学联系。

• 效率优势：相比于直接利用累积分布函数（CDF）的逆函数（Inverse Transform Sampling），Box-Muller变换不需要处理复杂的函数求逆，在计算上更为直接且高效，是生成高质量正态随机数的经典途径。