偏最小二乘法PLS回归建模分析程序（含详细注释）

资 源 简 介

该项目是一套基于MATLAB环境开发的标准化偏最小二乘法（PLS）算法程序，专门用于解决自变量集合存在严重多重共线性、且样本量可能小于变量维度的复杂回归建模问题。程序实现了完整的PLS建模流程，包括原始数据的零均值化处理、单位方差化缩放、残差平方和的迭代分析以及回归系数的最终求解。其核心功能通过提取能够尽可能解释自变量方差且与因变量具有最大相关性的成份，构建出一个稳健的预测模型。为了方便开发者理解和二次开发，代码库中融入了详尽的中文逻辑注释，清晰标注了得分向量、载荷向量、权重向量的物理意义及数学提取步骤。

详 情 说 明

全面偏最小二乘法（PLS）回归分析与建模系统

项目简介

本项目提供了一套基于 MATLAB 开发的标准化偏最小二乘法（PLS）建模工具。该系统旨在解决多元回归分析中常见的两个痛点：一是自变量之间存在严重的多重共线性；二是样本量远小于变量维度（即高维小样本问题）。通过核心的 NIPALS 算法，系统能够从高维数据中提取具有最强解释力且与响应变量相关性最高的主成分，从而构建稳健的预测模型。

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核心功能特性

1. 自动化的主成分优化：集成基于“留一法”（Leave-one-out）的交叉有效性验证功能，通过 Q2 指标自动判定提取主成分的最佳数量，有效防止模型过拟合。
2. 多变量支持：不仅支持单因变量回归，也支持多因变量（多对多）的同时建模分析。
3. 特征重要性评估：内置 VIP（变量重要性投影）计算模块，量化各输入变量对模型的贡献度。
4. 全自动量学转换：自动完成数据的 Z-score 标准化处理，并在建模完成后将回归系数还原至原始量纲，方便实际业务应用。
5. 多维度结果可视化：自动生成拟合效果图、VIP 权重图、方差解释贡献率图及残差分布图。

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实现逻辑详解

程序遵循严谨的统计学建模流程，具体逻辑步骤如下：

1. 数据生成与预处理 程序首先生成具有预设相关性的模拟数据，其中自变量集合包含人为构造的多重共线性特征。随后，利用 Z-score 方法对原始数据进行中心化和单位方差化缩放，确保不同量纲的变量在模型中具有公平的权重。

2. 交叉有效性验证（核心逻辑） 这是确定模型复杂度的关键环节。程序通过循环迭代不同的成分个数，在每次迭代中执行“留一法”：

• 每次剔除一个样本，用剩余样本训练模型。
• 计算被剔除样本的预测误差平方和（PRESS）。
• 计算全样本建模的误差平方和（SS）。
• 根据 Q2 指标（1 - PRESS/SS）的转折点或阈值（程序设定为 0.05）判定最佳主成分数。

3. 最终模型构建与还原 确定最优成分数后，利用全量标准化数据进行最终的 PLS 成分提取。程序计算得到标准化下的回归系数后，通过标准差比例和均值偏移逻辑，将其还原为带截距项的原始量纲回归系数表。

4. 统计评价与诊断 计算模型对 X 和 Y 空间的方差解释程度，评估 $R^2$ 拟合优度及均方误差（MSE）。同时运行 VIP 算法，识别对模型影响显著的关键特征（通常 VIP > 1 的变量被认为具有统计显著性）。

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关键算法与函数分析

1. NIPALS 算法模块 这是偏最小二乘法的核心引擎。不同于简单的主成分分析（PCA），该算法通过嵌套循环迭代：

• 寻找 X 的权重向量 w，使得提取出的得分向量 t 与 Y 的得分向量 u 之间的协方差最大化。
• 引入 Deflation（残差更新）机制：每提取一个成分后，从 X 和 Y 中扣除该成分已解释的部分，确保后续提取的成分互不相关。
• 输出项包含得分矩阵（T, U）、载荷矩阵（P, Q）和载荷权重（W）。

2. 修正权重计算（Wstar） 程序特别实现了 W* = W(P'W)^-1 的数学转换。这是因为 PLS 的原始权重 W 是针对残差矩阵的，而 W* 建立了原始输入空间与得分空间的直接映射，是求解最终回归系数的关键。

3. VIP 指标计算模块 该函数通过加权汇总各主成分对响应变量 Y 的方差贡献。权重取决于各成分对 Y 的解释能力度量（Rd），从而得出每个自变量在投影空间中的重要性得分。

4. 结果可视化逻辑 绘图模块将复杂的数据输出转化为直观的图表：

• 拟合效果图展示了模型预测值与实际观测值的对齐度。
• 成分贡献率图采用了双 Y 轴设计，左轴显示 X 的单步解释量，右轴显示 Y 的累计解释量。

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使用方法

1. 准备数据：在主程序的模拟数据生成部分，将原始自变量 $X0$ 和因变量 $Y0$ 替换为您自己的数据集（支持从 Excel 或 .mat 文件导入）。
2. 参数调整：根据需求修改交叉验证中的 Q2 阈值或尝试不同的最大主成分数限制。
3. 运行程序：直接运行主脚本，MATLAB 命令行窗口将实时打印建议的最佳主成分个数、回归系数表以及 VIP 指标。
4. 分析图表：观察弹出的图形窗口，重点查看 VIP 图形以识别关键特征，并观察残差图以判断是否存在模型系统性偏差。

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系统要求

• 运行环境：MATLAB R2016b 或更高版本。
• 依赖工具箱：主要基于原生 MATLAB 矩阵运算实现，无需安装额外的统计学工具箱，兼容性良好。