Duffing振子分岔图与Lyapunov指数计算分析程序

资 源 简 介

本项目主要用于研究和模拟Duffing非线性振子的动力学行为，通过MATLAB编程实现其分岔图的绘制以及Lyapunov指数的精确计算。程序的核心功能在于揭示非线性动力系统在参数变化过程中的状态演变规律，包括从周期运动、倍周期分岔到最终进入混沌状态的全过程。在分岔图实现方面，系统通过扫过特定范围的驱动力幅值或频率参数，采用四阶龙格库塔（Runge-Kutta）数值算法对微分方程进行长时间积分，并舍弃前期的瞬态响应，记录稳定后的状态点，从而生成反映系统演变的特征图谱。Lyapunov指数计算模块则采用了经典

详 情 说 明

基于MATLAB的Duffing振子分岔图与Lyapunov指数计算分析程序

项目介绍

本项目是一个专门用于研究Duffing非线性振子动力学行为的计算仿真平台。通过数值计算方法，程序能够精确模拟非线性系统在外部激励下的运动状态，包括周期运动、倍周期分岔以及混沌状态的演化逻辑。本项目集成了分岔图绘制、最大Lyapunov指数计算、相轨迹分析、Poincare截面提取及波形分析等功能，为非线性科学研究提供直观的数据支撑。

功能特性

本项目具备以下核心功能：

1. 分岔图自动化绘制：系统能够自动扫过设定的驱动力幅值范围，捕捉不同参数下位移状态的分布情况。
2. 最大Lyapunov指数定量分析：通过切空间演化算法评估系统对初始条件的敏感性，作为判定混沌的关键指标。
3. 典型状态深度解剖：支持对特定参数点（如混沌态）进行全方位的时域、频域（相空间）及Poincare截面观察。
4. 高精度数值积分：内置改进的四阶龙格库塔算法，确保动力学演化的数值稳定性与准确性。

使用方法

1. 在MATLAB环境下打开主程序。
2. 在系统基本参数设置区域，根据研究需求调整阻尼系数（delta）、线性刚度（alpha）、非线性项（beta）及频率（omega）。
3. 设定所需的外部激励幅值扫描范围（F_range）。
4. 运行程序，系统将依次执行分岔扫描、指数计算以及特定状态分析，并自动弹出多维度结果对比图表。

系统要求

1. 软件环境：MATLAB R2016b 及以上版本。
2. 硬件要求：由于分岔图和Lyapunov指数涉及大量迭代运算，建议配置不少于8GB内存的处理器。
3. 依赖项：无需第三方库，程序基于MATLAB原生语法编写。

程序实现逻辑分析

程序逻辑严格遵循非线性动力学分析的标准流程，具体实现分为以下四个核心模块：

#### 1. 分岔图实现逻辑 程序通过外层循环遍历激励幅值参数序列（F_range）。对于每一个特定的幅值参数：

• 首先进行100个激励周期的长时间积分作为预热阶段，目的是丢弃前期的瞬态响应，使系统进入稳定的吸引子。
• 随后进入记录阶段，在连续的50个周期内，以激励周期为采样间隔进行Poincare映射采样（即在每个周期的同一相位点记录位移x的值）。
• 最后将采集到的多个离散点位移与对应的激励幅值绘制在坐标系中，形成反映系统状态演变的分岔图谱。

#### 2. 最大Lyapunov指数（MLE）计算逻辑 该模块通过分析误差在切空间中的演化率来评估混沌特性：

• 采用微分方程线性化方法，在演化系统状态的同时计算雅可比矩阵。
• 为防止切向量在迭代过程中发生数值溢出，每步演化后均进行归一化处理。
• 累加每次归一化的伸缩因子对数（log norm），最终除以总时间得到最大Lyapunov指数。
• 程序设定当该指数大于零时，表明系统存在轨道发散特性，即进入混沌状态。

#### 3. 特定参数的精细动力学分析 程序选取特定的激励幅值（如F=0.35）进行高分辨率仿真：

• 记录全过程的相平面轨迹数据（位移x与速度v）。
• 通过取模运算精确捕捉每个激励周期的Poincare采样点，生成Poincare截面图。
• 截取稳定段的时域信号绘制波形图，直观展现混沌运动的非周期特征。

#### 4. 数值计算核心子函数

• 导数计算函数：定义了标准的非自治Duffing方程，将二阶非线性微分方程转化为一阶微分方程组。
• 龙格库塔步进函数：实现了经典的四阶RK4算法，通过四次斜率加权平均计算，保证了单步积分的局部截断误差控制在五阶量级。
• 雅可比分析算法：在计算Lyapunov指数时，代码通过计算切空间中的向量演化，利用中点雅可比矩阵近似（向RK4逻辑靠拢）来提高指数计算的收敛精度。