基于MATLAB的标准型线性规划单纯形法求解器

资 源 简 介

该项目旨在开发一个高效且稳健的MATLAB程序，用于实现求解线性规划问题的标准单纯形算法。程序的核心功能包括自动构建单纯形表、执行主元消去过程以及判定最优性条件。在本程序中，用户可以输入标准型的线性规划模型，系统会自动通过寻找初始基可行解启动计算流程。在每一步迭代中，程序会根据入基准则（如最小约化成本原则）和出基准则（最小比值原则）精确选择主元，并通过矩阵行变换更新单纯形表。相较于MATLAB内置的求解函数，本程序特别强化了过程监控功能，能够实时记录并最终输出算法运行所需的总迭代次数，这对于算法复杂度分析

详 情 说 明

MATLAB通用标准线性规划单纯形法求解程序

项目介绍

本项目是一个基于MATLAB环境开发的线性规划求解工具，专门用于实现标准单纯形算法。该程序旨在为用户提供一个透明、可控的数学优化工具，不仅能够求解常规的线性规划问题，还能展示算法执行过程中的每一步迭代细节。通过手动实现核心算法逻辑而非直接调用商业求解器，本项目非常适合于运筹学教学演示、复杂算法流程研究以及对数值计算稳定性有特定要求的工程场景。

功能特性

1. 自动化模型转换 程序支持输入原始的线性规划参数，能够自动将极大化问题转化为标准的小极化形式，并自动添加松弛变量以构建初始基可行解，降低了用户输入标准型模型的复杂难度。

2. 精确的过程监控 系统实时记录算法的迭代步数及当前目标函数值的变化情况。相较于封装程度高的商业工具，本程序公开了从检验数计算到主元选取的完整逻辑，便于分析算法的收敛性。

3. 稳健的异常判定 内置了对无界解和最优解的判定机制。通过数值微小偏差（Epsilon）兼容处理，程序能够有效识别搜索方向是否存在上界，确保在各种数值环境下提供可靠的输出。

4. 矩阵化的主元运算 程序采用现代矩阵计算方法处理单纯形表的更新，利用MATLAB高效的线性代数运算性能加速基变换过程，同时保留了传统主元消去的逻辑结构。

使用方法

1. 参数配置 用户需要在程序脚本的输入部分定义目标函数系数向量（c）、约束系数矩阵（A）以及约束右端项向量（b）。同时，通过设置特定的标识符来指定问题类型为极大化（max）或极小化（min）。

2. 运行求解 直接在MATLAB环境中运行主程序脚本。程序将自动开始计算并在命令行窗口实时打印每次迭代的状态信息。

3. 结果查看 计算完成后，程序会输出详尽的结算报告，包括算法总迭代次数、每个决策变量的最优取值以及最终的目标函数最优值。

系统要求

• 软件环境：MATLAB R2016b 或更高版本。
• 硬件要求：无特殊硬件要求，标准计算型桌面电脑即可运行。

详细实现逻辑

1. 预处理阶段 程序首先判断输入的问题类型。若是极大化问题，则通过对目标函数系数求负将其转化为等价的极小化问题。随后，程序通过在约束矩阵中引入单位矩阵来构造松弛变量，从而将不等式约束转化为等式约束，并确定初始基变量索引。

2. 初始化单纯形表 程序建立初始基（Basis）和非基（Non-basis）变量集合。利用添加的松弛变量作为初始的可行基，计算初始的基阵及其逆矩阵。

3. 迭代循环阶段 循环是算法的核心，每一步迭代包含以下逻辑：

• 计算检验数（Reduced Cost）：利用公式计算当前非基变量的检验数，用于判定是否存在改进目标函数的可能。
• 最优性判定：检查所有检验数是否均大于或等于负的微小阈值（1e-10）。若满足，则说明已找到最优解，跳出循环。
• 入基变量选择：遵循最小检验数原则（最负原则），从非基变量中选取使目标函数下降最快的变量进入基变量。
• 无界性判定：在确定入基列后，检查该列的所有元素。若全部小于或等于零，程序抛出错误并提示该线性规划问题无界。
• 出基变量选择（最小比值原则）：计算当前基变量取值与入基列正元素的比值，选取比值最小的行对应的变量退出基变量，以保证解的可行性（Theta准则）。
• 基更新：替换基变量索引，利用矩阵运算或者行变换完成基变换操作。

4. 结果导出阶段 当程序满足终止条件后，利用最终的基变量索引提取对应的解向量。程序会将解向量映射回原始决策变量空间，并根据初始问题类型计算并输出最终的最优值。

关键算法与实现细节分析

1. 数值稳定性处理 在判定最优性（rel_cost >= -1e-10）和进行最小比值测试（pivot_col > 1e-10）时，程序引入了极小的容差。这种做法有效防止了由于浮点数运算产生的舍入误差导致算法陷入死循环或错误判定的问题。

2. 修正单纯形法的矩阵表述 虽然程序逻辑基于单纯形表，但在实际代码实现中，采用了通过基矩阵B进行求解的方式（如使用左除算子 求解当前基可行解）。这种方式结合了单纯形表直观的逻辑和修正单纯形法高效的计算特性。

3. 自动化的变量索引映射 程序能够自动管理决策变量与松弛变量的索引关系。即便在变量维度增加的情况下，也能准确提取出前n个原始决策变量的值，实现了算法对任意规模标准形式问题的通用性。

4. 防死循环机制 代码中显式设置了500次的最大迭代限制。这一细节确保了在处理可能存在的退化问题或异常输入时，程序不会导致系统崩溃，增强了软件的整体健壮性。

5. 辅助消去逻辑 虽然程序核心迭代依赖矩阵运算，但内部定义了专门的主元消除函数，演示了如何通过初等行变换将主元所在列转化为单位向量。这展示了单纯形法在代数层面的本质操作，即通过基变换在多面体可行域的顶点间进行搜索。