基于小波变换的信号奇异性检测与去噪程序

资 源 简 介

本项目主要由一系列专门设计的MATLAB程序组成，旨在利用小波变换技术实现信号的精确奇异性检测与高效去噪。其核心功能包括：一是通过多尺度小波变换分析信号的突变特征，利用模极大值法准确识别信号中的间断点、尖峰或其他非平稳奇异成分，并通过奇异性指数（Lipschitz指数）对奇异点进行定量刻画。二是实现了多种小波去噪算法，包括硬阈值处理和软阈值处理，能够在滤除高频随机噪声的同时，最大限度地保留信号的边缘和瞬态特征。程序集涵盖了从小波基的选择、分解层数的确定到阈值估计及信号重构的完整流程。这些例程广泛适用于机械

详 情 说 明

小波变换信号奇异性检测与去噪项目

项目介绍

本项目旨在演示如何利用小波变换技术对非平稳信号进行深入分析。小波变换由于其良好的时频局部化特性，能够有效捕捉信号中的突变成分（奇异点）并能实现高质量的噪声抑制。本项目通过一个完整的流程，展示了从复杂信号仿真、多尺度奇异性检测、奇异点定量描述到小波域阈值去噪的完整技术路径，为工程中的状态监测、故障诊断及信号预处理提供了参考范例。

功能特性

1. 多元化信号仿真：构建了包含正弦信号、第一类间断点（阶跃）、线性趋势项、孤立尖峰（第二类间断点）及高斯脉冲的复杂人工合成信号，用于验证算法的稳健性。
2. 多尺度奇异性分析：采用连续小波变换（CWT）准确提取信号的突变特征，并通过模极大值法定位奇异点。
3. 奇异性定量刻画：基于小波变换系数在跨尺度下的衰减规律，计算特定点的 Lipschitz 指数（奇异性指数），量化突变的剧烈程度。
4. 双模式小波去噪：实现了离散小波变换（DWT）下的硬阈值与软阈值去噪算法，支持自定义小波基与分解层数。
5. 完备的性能评价：自动计算输入与输出信号的信噪比（SNR）和均方根误差（RMSE），并生成多维度的可视化图表。

使用方法

1. 确保您的计算机上已安装 MATLAB 环境。
2. 将项目相关的程序源代码放置在同一工作目录下。
3. 在 MATLAB 命令行窗口中直接运行名为 main 的函数。
4. 程序将自动执行所有分析步骤并弹出两个图形窗口：

- 窗口1：展示时域信号对比、小波系数模值图、模极大值传播路径以及去噪重构对比。 - 窗口2：专门呈现特定奇异点处的 Lipschitz 指数线性拟合结果。

1. 运行结束后，命令行窗口将输出各阶段的 SNR 性能指标和测算的 Lipschitz 指数。

系统要求

• MATLAB R2016b 或更高版本。
• 必须安装配套的 Wavelet Toolbox（小波工具箱）。
• 必须安装配套的 Signal Processing Toolbox（信号处理工具箱）。

实现逻辑说明

项目的实施严格遵循以下逻辑流程：

1. 信号构建与噪声注入

首先构造一个长度为1000个采样点的组合信号，其中重点设置了 201-400 点的阶跃跳变和 500 点处的脉冲尖峰。随后在原始信号中混入标准差为 0.5 的高斯白噪声，生成待处理的含噪信号。

2. 基于 CWT 的奇异性检测

• 小波基选择：采用 Mexican Hat (mexh) 小波，其实际上是高斯函数的二阶导数，对信号的突变点和二阶导数变化极其敏感。
• 模极大值提取：在 1 到 64 个尺度范围内进行小波分解。利用局部峰值搜索算法识别每一尺度下小波系数的局部极大点，剔除背景噪声干扰，锁定奇异点的传播路径。
• Lipschitz 指数计算：针对 500 点处的孤立尖峰，通过提取其在不同尺度下的小波系数模值，在双对数坐标系（log2-log2）下进行线性拟合。拟合直线的斜率即为 Lipschitz 指数，用于区分信号的平滑度或突变类型。

3. 基于 DWT 的去噪处理

• 多层分解：使用 Daubechies 4 (db4) 正交小波对含噪信号进行 5 层离散小波分解，得到一层近似系数和各层细节系数。
• 阈值估算：采用通用的固定阈值公式。利用第一层细节系数的绝对中位差（MAD）估计噪声标准差 sigma，从而计算出适应信号长度的全局阈值。
• 阈值处理策略：

- 硬阈值：直接将模值小于阈值的系数置零，保留大于阈值的系数，有利于保持信号边缘。 - 软阈值：在置零微小系数的同时，对保留的系数进行收缩处理，使得重构信号更加平滑，减少伪吉布斯现象。

• 信号重构：将处理后的系数通过逆离散小波变换（IDWT）还原回时域信号。

4. 统计与分析可视化

计算并对比去噪前后的 SNR 提升情况。通过多子图布局展示：

• 时域图反映宏观波形。
• 系数模值图显示能量随时间与尺度的分布。
• 传播路径图揭示奇异点跨尺度的一致性特征。
• 拟合曲线定量说明奇异性检测的物理意义。

关键算法细节分析

• 墨西哥帽小波 (mexh)：由于其具有对称性和良好的检测性能，是检测第一类和第二类奇异点的理想选择。
• 通用阈值 (Universal Threshold)：计算公式为 $sigmasqrt{2ln(N)}$，该阈值在统计学上被证明在大样本下能以高概率滤除纯加法高斯噪声。
• Lipschitz 指数的物理意义：程序通过 polyfit 函数拟合斜率。若指数大于0，说明该点是连续的但不可导或导数受限；若指数接近或小于0，则通常对应极端的阶跃或脉冲干扰。
• 性能评价指标：通过对比硬阈值和软阈值的 SNR，项目实现了对不同去噪策略优劣的直观量化，为实际场景下的参数选择提供依据。