基于高斯过程的回归分析与预测系统

资 源 简 介

本项目旨在通过MATLAB平台实现高斯过程回归（Gaussian Process Regression, GPR）的完整流程。高斯过程在空间统计学中有着悠久的研究历史，近年来因其在处理复杂非线性建模问题中的卓越表现而受到广泛关注。 本系统的核心功能是通过定义样本之间的协方差核函数，将输入空间映射到无限维的特征空间，从而实现对非线性关系的精确捕捉。项目实现了从数据预处理、核函数（如平方指数核、Matern核等）的选择与构建、到超参数的自动调优（利用最大边缘似然估计）的自动化建模。 系统不仅能够给出测试点的预

详 情 说 明

高斯过程回归分析系统 (MATLAB)

项目介绍

本项目是一个基于MATLAB实现的完整高斯过程回归（Gaussian Process Regression, GPR）分析系统。高斯过程作为一种非参数贝叶斯建模方法，通过定义样本间的协方差核函数，能够在处理复杂非线性映射问题的同时，为预测结果提供完备的概率描述。

该系统集成了从数据仿真、核函数构建、超参数优化到结果不确定性量化的全流程。其核心优势在于不仅能输出测试点的预测均值，还能计算预测的置信区间。这使得该系统在需要评估预测可靠性的领域，如传感器标定、工程优化预测以及时序分析中具有显著的应用价值。

功能特性

• 非线性建模能力：能够精确拟合原本难以用简单线性模型描述的复杂函数关系。
• 超参数自动化寻优：系统利用极大似然估计原理，自动调整模型参数以适配当前数据集。
• 不确定性量化：提供基于高斯分布的方差预测，并可视化 95% 置信区间。
• 数值稳定性优化：核心算法采用 Cholesky 分解处理矩阵运算，有效避免了矩阵求逆带来的数值不稳定。
• 综合可视化：一键生成包含真实曲线、训练样本、预测均值及置信范围的对比图表。
• 性能指标评估：自动计算均方误差 (MSE) 和判定系数 (R2)，科学评价模型质量。

系统要求

• MATLAB R2016b 或更高版本。
• 无需額外的第三方工具箱（算法基于 MATLAB 核心内置函数实现）。

实现逻辑与流程

系统的主要实现逻辑遵循高斯过程回归的标准统计框架，具体步骤如下：

1. 数据准备：系统首先生成带有随机噪声的合成数据集。目标函数由正弦和余弦函数复合而成，测试集范围略大于训练集，以测试模型的内插和外推能力。

1. 超参数空间定义：定义了三个核心超参数：特征长度尺度（Length Scale）、信号标准差（Signal Variance）和噪声标准差（Noise Variance）。为了确保这些参数在优化过程中始终保持正值，系统在对数空间内进行参数优化。

1. 二次优化过程：系统调用优化算法寻找能够使“边缘对数似然函数”最小化的超参数组合。这一过程本质上是在寻找最能解释观测数据的模型结构。

1. 统计推断：在获取最优超参数后，系统执行预测逻辑。基于条件高斯分布公式，结合训练数据与测试数据之间的协方差关联，计算出每个测试点的后验均值和后验方差。

1. 结果产出：最后，系统将预测值与真实值进行比对，计算评价指标，并绘制完整的数据图谱。

关键算法与函数分析

负边缘对数似然计算

这是系统优化的目标函数。其内部实现了 Squared Exponential (SE) 核函数。为了保证计算效率，系统采用了 Cholesky 分解技术，将复杂的矩阵求逆和行列式计算转化为对三角矩阵的线性方程组求解。这种处理方式能够有效应对协方差矩阵可能出现的奇异性问题。

高斯过程预测推断

该功能部分负责实现从先验到后验的推导。它计算测试点与训练点之间的互协方差矩阵，并利用最优化的信噪比参数对预测方差进行修正。最终输出的方差不仅包含了模型对函数本身的不确定性认知，也考虑了观测噪声的影响。

平方欧氏距离计算

为了提高矩阵运算效率，系统实现了一种非循环的距离矩阵计算方法。通过向量化运算（$a^2 + b^2 - 2ab$ 展开式），快速生成两组点集之间的距离矩阵，这是构建高斯核函数的基础。

结果指标评估

系统内置了评价模块，通过计算 R2 指数来衡量模型解释原始数据变异性的程度，R2 越接近 1 代表模型性能越优。

使用方法

1. 打开 MATLAB 软件环境。
2. 将项目的所有代码文件置于当前工作路径下。
3. 在命令行窗口直接运行主程序函数。
4. 程序将自动进行超参数迭代，并在命令行输出优化后的参数值及性能指标。
5. 自动弹出的图形窗口将展示回归拟合的最终效果，蓝色曲线代表模型预测，淡蓝色阴影区域展示了模型对预测结果的置信度。