基于TLS算法的ARMA模型参数估计仿真项目

资 源 简 介

该项目实现了一种利用总体最小二乘法（Total Least Squares, TLS）来估计自回归移动平均（ARMA）模型参数的仿真系统。在传统的参数估计任务中，普通最小二乘法（OLS）通常只考虑观测数据项的误差，而忽略了系数矩阵本身可能存在的观测噪声。本项目通过引入TLS算法，能够同时处理方程组中系数矩阵（A）和观测向量（b）两者的误差，通过对增广矩阵进行奇异值分解（SVD）来获得更接近真实值的模型参数。 项目详细涵盖了ARMA过程的建模过程，首先由系统生成一组特定的随机平稳序列，并注入不同强度的白噪声

详 情 说 明

基于总体最小二乘法(TLS)的ARMA模型参数估计仿真项目

项目介绍

本项目是一个基于MATLAB的仿真系统，专门用于实现自回归移动平均（ARMA）模型的参数估计。在现代信号处理中，传统的普通最小二乘法（OLS）往往假设自变量是没有误差的，但在实际应用中，观测矩阵和响应向量通常都会受到噪声干扰。

本项目通过引入总体最小二乘法（Total Least Squares, TLS），利用奇异值分解（SVD）技术同时补偿系数矩阵和观测向量中的噪声误差。该方法在低信噪比环境下具有更高的估计精度和更强的数值稳定性，适用于平稳时间序列分析、系统辨识及预测等领域。

功能特性

• 高精度AR参数估计：利用TLS算法处理增广矩阵，有效抑制观测噪声对AR部分的影响。
• 受限MA参数求解：针对MA部分，采用残差逆滤波与自相关分析相结合的方法进行解算。
• 仿真环境自定义：支持用户自定义数据长度、信噪比（SNR）、AR阶数以及MA阶数。
• 多维度性能评估：自动计算参数估计的相对误差，并生成时域对比、奇异值能量分布、参数值对比以及功率谱密度（PSD）分析图表。
• 鲁棒性验证：内置信号生成逻辑，模拟从理想平稳序列到含噪观测序列的完整过程。

实现逻辑与算法细节

#### 1. 信号生成与环境模拟 系统首先根据预设的 AR 和 MA 参数（真值）构建滤波器模型。利用标准正态分布产生驱动白噪声，通过该模型生成纯净的 ARMA 序列。随后，根据指定的信噪比（SNR）计算所需噪声功率，在纯净序列中叠加高斯白噪声，生成模拟实际采集到的观测序列。

#### 2. AR参数的TLS估计 这是项目的核心部分。算法通过构造观测矩阵（类似于修正的 Yule-Walker 形式），将 ARMA 模型的差分方程转化为 $Ax = b$ 的形式。

• 增广矩阵构造：将滞后的观测项与当前的观测项共同组合成一个增广矩阵。
• SVD分解：对该增广矩阵进行奇异值分解。根据总体最小二乘原理，寻找最小奇异值所对应的右奇异向量。
• 归一化处理：通过对该奇异向量进行归一化，提取出 AR 模型的系数向量，从而实现对模型 pole（极点）位置的准确还原。

#### 3. MA参数的逆推估计 在获得 AR 参数的估计值后，程序执行以下步骤：

• 残差提取：将含噪观测信号通过由估计出的 AR 参数构成的 FIR 滤波器，进行“逆滤波”操作，得到包含 MA 信息和残差噪声的序列。
• 相关性解算：计算该残差序列的自相关函数。针对本项目中的 MA(1) 实例，利用自相关系数与模型参数之间的非线性关系构造二次方程。
• 根稳定性判定：解算方程得到潜在的参数解，并根据系统稳定性要求（模值小于1）筛选出最终的 MA 参数估计值。

#### 4. 可视化与性能评估 系统通过四种方式直观展示估计结果：

• 时域波形图：展示前200个采样点的理想信号与含噪观测信号对比。
• 奇异值分布图：通过对数坐标展示矩阵奇异值，体现 TLS 分离信号特征空间与噪声空间的能力。
• 参数对照直方图：对比 AR 和 MA 各个系数的真实值与估计值，并输出相对误差。
• 频域分析（PSD）：采用 Welch 法估计并绘制原始信号与重构信号的功率谱密度曲线，验证模型在频域的一致性。

系统要求

• 软件环境：MATLAB R2016b 或更高版本。
• 所需工具箱：Signal Processing Toolbox（用于滤波器设计和功率谱分析）。

使用方法

1. 打开运行环境，并定位至项目脚本所在文件夹。
2. 打开程序文件，在“参数设置”区域根据需求修改数据长度 N、信噪比 SNR 及模型阶数 p 和 q。
3. 点击运行。
4. 在工作区查看估算出的参数向量 a_est 和 b_est，并在弹出的图形窗口中观察仿真分析结果。
5. 控制台中将实时打印 AR 及 MA 估计的相对误差百分比。