基于EM算法的高斯混合模型聚类工具包

资 源 简 介

本项项目针对机器学习中的经典期望最大化（EM）算法进行了完整的MATLAB实现。该算法主要用于含有隐变量的概率模型参数估计，本工具包的核心功能是实现高斯混合模型（GMM）的自动聚类与密度估计。

详 情 说 明

基于MATLAB的高斯混合模型EM算法工具包

项目介绍

本工具包是一个基于MATLAB开发的机器学习演示与计算平台，专注于高斯混合模型（Gaussian Mixture Model, GMM）的参数估计。工具包完整实现了期望最大化（Expectation-Maximization, EM）算法，能够自动从无标签的多维数据中学习聚类特征，并估算各成分的概率分布参数。

功能特性

1. 合成数据生成：内置多维正态分布数据生成引擎，支持自定义均值向量、协方差矩阵和混合比例。
2. 完整的EM迭代：实现了从初始化到E步（期望）计算后验概率、再到M步（极大化）更新参数的完整闭环。
3. 参数估计稳定性：在协方差矩阵更新中引入正则化项，有效防止计算过程中的矩阵奇异问题。
4. 性能监控：全程跟踪对数似然函数值的演化，提供算法收敛性的数学依据。
5. 双重可视化：同步展示对数似然函数的变化曲线以及具备概率意义的二维聚类等高线分布图。

逻辑实现说明

程序的执行流程严格遵循EM算法的标准数学定义，分为以下五个阶段：

1. 参数配置与环境初始化：

设置模拟实验的总样本数、特征维度（2维）及预设的三个高斯成分。通过指定的随机种子确保实验的可重复性。

1. 数据合成阶段：

依据预设的不同均值和协方差矩阵，通过特征值分解技术生成三组具有不同分布特征的随机采样数据，并将它们拼接为原始观测矩阵。

1. EM算法核心循环：

* E-Step（期望步）：计算每个样本属于各个高斯成分的后验概率（响应度）。程序通过多维高斯概率密度函数（PDF）计算样本在各成分下的似然，并结合混合权重进行归一化。 * 对数似然计算：在每一轮迭代中计算所有样本的总对数似然值，用于评估模型的拟合精度。 * M-Step（极大化步）：利用E步得到的响应度重新加权更新模型参数。包括： * 均值更新：计算样本在该成分响应度下的加权平均。 * 协方差更新：计算加权样本协方差，并添加微小的标量（1e-6）以增强数值稳定性。 * 权重更新：根据各成分的总响应度更新其在混合模型中的比例。

1. 收敛判定：

通过比较当前迭代与上一次迭代的对数似然值差值。若差值小于设定的阈值（1e-6），则认为算法已收敛并提前跳出循环。

1. 结果产出与可视化：

* 硬标签提取：根据最大的响应度为每个样本分配唯一的聚类归属。 * 多维展示：生成包含似然演化图和分类散点图的综合看板。

系统要求

• 软件环境：MATLAB R2016b 或更高版本。
• 计算资源：无需特殊工具箱支持，算法逻辑基于MATLAB原生矩阵运算实现。

实现细节分析

多维正态随机数生成逻辑

程序未直接调用系统内置工具箱函数，而是通过以下数学步骤手动实现数据生成：

• 对协方差矩阵进行特征值分解。
• 将标准正态分布生成的随机向量投影到特征空间。
• 根据特征值的平方根进行缩放，并叠加均值偏移，实现任意协方差结构的采样。

概率密度函数并行化计算

在E步中，程序采用向量化计算方式处理所有样本的概率估计。利用样本与均值的差值矩阵与逆协方差矩阵进行二次型运算，极大地提高了在大规模数据样本下的计算效率。

高斯分布等高线绘制

可视化部分利用几何变换原理，将单位圆上的点集通过协方差矩阵的特征分解映射为椭圆。该椭圆代表了2倍标准差（2-sigma）的范围，能够直观地覆盖约95%的数据分布区域，从而展示聚类边界。

数值稳定性技巧

在M步更新协方差时，程序在对角线上施加了 regularization term。这一步骤至关重要，它确保了在样本点过少或局部数据共线性极强时，协方差矩阵依然可逆，保证了算法的鲁棒性。