基于小数据量法的最大Lyapunov指数计算程序

资 源 简 介

该项目旨在开发一套完整的MATLAB算法，利用小数据量法准确提取非线性动力系统的最大Lyapunov指数。 程序核心功能包括对原始一维离散时间序列进行预处理，随后依据Takens嵌入定理执行相空间重构过程。 系统能够通过自相关函数法或C-C法自动计算最佳延迟时间，并利用虚假最近邻点法（FNN）确定最小嵌入维数。 算法逻辑在于定位相空间中各轨迹点的最近邻点，并严格限制短暂演化时间以避开轨道折叠区。 通过计算所有近邻点随演化时间步长的平均分离距离，并在对数坐标系下利用最小二乘法对线性增长段进行斜率拟合，从而得

详 情 说 明

基于小数据量法的最大Lyapunov指数计算程序

项目介绍 本项目是一套基于MATLAB开发的非线性动力学分析工具，专注于利用“小数据量法”（Small-data Quantity Method）从时间序列中提取最大Lyapunov指数。该算法通过对相空间进行重构，并追踪近邻点随时间的演化轨迹，能够有效识别系统的混沌特性。该方法在处理实验数据时具有较高的鲁棒性，能够在数据量有限且存在噪声的情况下给出较为准确的系统散离率估计。

功能特性

1. 自动化参数估计：内置自相关函数法自动确定最佳延迟时间，利用虚假最近邻点法（FNN）自动计算最小嵌入维数。
2. 平均周期计算：采用快速傅里叶变换（FFT）识别主频率并推算平均周期，作为Theiler窗口参数以消除轨迹折叠区导致的虚假相关。
3. 高效率算法实现：核心计算逻辑针对大规模矩阵及邻域搜索进行了优化，支持通过下采样方式提升FNN计算速度。
4. 全过程可视化：提供从相空间吸引子轨迹、自相关系数演化到最大Lyapunov指数线性拟合的全程图形展示。
5. 适用性广：适用于物理、气象、金融及生物医学等领域的混沌特性分析。

核心功能与实现逻辑

1. 数据重构与预处理：

系统首先生成或加载时间序列数据（如内置的Lorenz混沌系统数据）。对原始数据进行归一化处理（零均值，单位方差），以消除量纲影响。利用Takens重构定理，根据确定的延迟时间tau和嵌入维数m，将一维序列映射到高维重构相空间中。

1. 延迟时间 (tau) 确定：

通过自相关函数法实现。计算数据在不同滞后步数下的相关系数，寻找相关系数首次下降到原始值（1 - 1/e）时刻对应的序列偏移量，该偏移量即被定义为最佳延迟时间。

1. 嵌入维数 (m) 确定：

采用虚假最近邻法（FNN）。在不同维数下寻找空间的最近邻点，并观察增加维度后近邻点距离的变化。当增加维数不再导致大量虚假近邻点（即比例低于5%时），确定当前的维数为最小嵌入维数。

1. 最大Lyapunov指数 (MLE) 核心算法：

首先计算参考点与最近邻点的初始距离，通过Theiler窗口（依据主频率周期设定）限制，确保近邻点在时间上不相邻。随后追踪这些近邻点随演化时间步长的距离变化，并计算所有邻域对随演化时间增加的平均对数距离。

1. 结果拟合与输出：

在演化距离与时间的对数坐标系下，系统会自动截取线性增长段（通常取总演化步数的前10%至60%区间）。利用最小二乘拟合技术（一阶多项式拟合）计算该直线段的斜率，该斜率即为系统的最大Lyapunov指数。

关键算法细节分析

1. 吸引子轨迹重构：

依据给定的m和tau，通过平移窗口提取子序列构成向量矩阵，每行代表一个重构后的相空间坐标点，这是后续几何距离分析的基础。

1. Theiler窗口限制：

在寻找最近邻点时，逻辑上忽略了时间索引相近的点（即索引差小于平均周期的点），防止由于系统局部平滑轨迹导致的指数误判。

1. 演化步长控制：

算法设计了最大演化步数限制，以避免系统进入全局尺度导致的轨道饱和区，从而保证在局部线性区内完成斜率拟合。

1. 综合可视化：

结果面板包含四个部分：左上方展示重构后的三维或二维相空间吸引子结构；右上方显示自相关曲线用于验证tau的取值；下方大幅图表展示了线性回归过程，散点表示对数距离均值，虚线表示最终的拟合斜率，增强了计算结果的可解释性。

系统要求

1. 软件环境：MATLAB R2016b 或更高版本。
2. 硬件需求：基础计算资源即可，对于超大规模数据集，建议具备 8GB 以上内存。
3. 依赖工具箱：Signal Processing Toolbox（用于FFT及信号处理相关计算）。

使用说明 用户直接运行主程序脚本即可。程序将自动执行以下流程：

1. 生成Lorenz吸引子模拟数据并进行标准化。
2. 自动检测延迟时间和嵌入维数。
3. 计算Theiler窗口值并执行Lyapunov指数计算。
4. 自动弹出绘图窗口显示分析结果，并在命令行界面输出具体的 tau、m、平均周期以及最大Lyapunov指数数值。