基于OMP算法的压缩感知信号重构系统

资 源 简 介

该项目旨在实现压缩感知（Compressed Sensing）理论中的经典重构算法——正交匹配追踪算法（Orthogonal Matching Pursuit, OMP）。针对线性观测模型y=Ax，在已知观测向量y和测量矩阵A且原始信号x满足稀疏性假设的前提下，通过迭代搜索的方式实现信号的精确重构。 其核心实现逻辑是在每轮迭代中计算当前残差与测量矩阵各列（原子）的内积，选取相关性最强的列加入支撑集。利用最小二乘法在当前支撑集所构成的子空间上对信号进行投影，更新重构向量坐标并相应调整残差，确保残差始终与已选

详 情 说 明

基于OMP算法的压缩感知信号重构系统

项目介绍

本项目实现了压缩感知（Compressed Sensing）领域核心的重构算法——正交匹配追踪算法（Orthogonal Matching Pursuit, OMP）。该系统模拟了从高维信号到低维观测值的压缩采样过程，并通过迭代算法实现信号的精确还原。其理论依据在于信号的稀疏性，通过已知的测量矩阵和观测向量，在欠定方程组中寻找到信号的非零支撑集，能够以远低于奈奎斯特采样率的频率恢复原始信息。

功能特性

• 稀疏信号模拟生成：自动生成具有指定稀疏度的高维随机信号，模拟真实场景中的稀疏源。
• 测量矩阵构造与预处理：构建高斯随机测量矩阵，并执行列归一化处理，以满足有限等距性质（RIP）的近似要求。
• 迭代重构的核心逻辑：采用贪婪搜索策略，逐次寻找最匹配的原子（测量矩阵的列），并通过正交投影保证迭代的收敛性。
• 实时残差追踪：记录并计算每轮迭代后的残差模值，用于分析算法的收敛速度和稳定性。
• 性能评估与可视化：提供相对重构误差评估，并通过直观的图表对比原始信号与重构信号。

实现逻辑

系统依照压缩感知的标准流程进行设计，具体步骤如下：

1. 参数初始化与信号生成：设定信号总长度为 512，观测维度为 128，稀疏度为 30。通过随机排列函数确定非零元素的位置，并填充符合标准正态分布的幅值，产生原始稀疏信号。
2. 观测系统构建：生成高斯随机矩阵作为测量矩阵。为了保证匹配过程的公平性，对矩阵的每一列进行二范数归一化处理。将测量矩阵与原始信号相乘，得到降维后的观测向量。
3. OMP 算法迭代循环：

- 相关性分析：计算当前残差向量与测量矩阵每一列的内积绝对值，以此衡量原子与残差的相关性。 - 支撑集更新：在每轮迭代中识别出相关性最强的列索引，并将其加入已选支撑集。 - 正交投影（最小二乘）：基于当前选定的支撑集，利用伪逆计算最小二乘解。这一步确保了重构信号在选定子空间上的投影是最优的。 - 残差更新：从原始观测值中减去当前估计值的贡献，更新残差。由于采用了正交投影，新的残差将与所有已选原子正交。

1. 结果输出与评估：迭代达到预设次数（稀疏度 K）后，将估计出的非零分量回填至原始维度空间的对应位置，完成重构。计算重构值与原始值之间的相对 L2 范数误差。

关键函数与技术分析

• 信号生成技术：利用随机排列函数获取索引确保了稀疏位置的随机性，结合正态分布模拟了信号强度的不确定性。
• 矩阵归一化：通过循环对测量矩阵的各列进行范数缩放，这是 OMP 算法能准确通过内积最大化捕捉特征原子的前提。
• 相关性计算：使用矩阵转置与残差向量的乘积运算，高效地实现了全局原子的相关性比对。
• 伪逆运算 (Pseudo-inverse)：在最小二乘估计步骤中，利用伪逆处理欠定支撑子空间的投影，增强了数值计算的稳定性，即使在矩阵条件数较差时也能给出较优解。
• 可视化分析：采用离散序列图（Stem Plot）清晰展示重构脉冲与原始脉冲的重合度，通过折线图反映残差随迭代次数下降的收敛轨迹。

使用方法

1. 确保计算机已安装 MATLAB 运行环境。
2. 将该项目的脚本文件放置于 MATLAB 的当前搜索路径下。
3. 在 MATLAB 命令行窗口直接运行该主函数。
4. 程序运行结束后，会自动在命令行输出重构误差，并弹出包含“信号重构对比图”和“残差收敛曲线图”的可视化窗口。

系统要求

• 软件环境：MATLAB R2016b 或更高版本。
• 硬件环境：无特殊硬件要求，标准 PC 即可流畅运行。