基于傅立叶级数与混合滤波的信号处理系统

资 源 简 介

本系统首先利用傅立叶级数展开方法，通过设定不同的谐波频率、振幅和相位参数，自由生成所需的连续时间信号x(t)。在此基础上，系统支持选择不同的采样间隔T，包括满足奈奎斯特采样定理（T < 1/2fc）和不满足采样定理（T > 1/2fc）的两种情况，从而将连续信号转换为离散序列x(n)，并绘制相应的时域波形图以观察混叠现象。系统通过离散傅立叶变换（FFT）对不同采样条件下获得的x(n)进行频谱分析，解析其频率响应特性。 在滤波器设计模块，系统提供两种主流路径：一是利用巴特沃思、切比雪夫或椭圆滤波器设计法构建

详 情 说 明

基于傅立叶级数与多种滤波技术的数字信号分析与处理系统

项目介绍

本系统是一个综合性的数字信号处理（DSP）仿真平台，旨在演示从连续信号生成、离散采样分析到数字滤波器设计及应用的全过程。系统通过数学建模模拟真实世界的信号环境，重点展示了奈奎斯特采样定理的应用、频谱混叠现象、以及IIR和FIR两种主流数字滤波器的设计与滤波效果对比。该系统适用于教学演示、算法验证以及信号处理流程的理解。

功能特性

1. 多谐波信号合成：支持利用傅立叶级数原理，通过自定义频率、振幅和相位参数合成复杂的连续时间信号。
2. 采样定理验证与混叠分析：系统提供对比实验，展示在满足与不满足奈奎斯特采样频率（Fs > 2fc）的情况下，信号在时域和频域的不同表现，直观呈现频率混叠现象。
3. 双路径滤波器设计：

* IIR滤波器：涵盖巴特沃思（Butterworth）低通和切比雪夫I型（Chebyshev Type I）带通滤波器，支持自动阶数估算。 * FIR滤波器：提供基于窗函数法的滤波器设计，包含Hamming窗低通和Blackman窗高通滤波器。

1. 全过程频谱分析：利用快速傅立叶变换（FFT）对原始信号、混叠信号及滤波后的信号进行频谱解析。
2. 可视化评估界面：同步输出时域波形图与频域幅频响应图，支持滤波前后的信号对比，直观评估降噪与成分提取效果。

系统要求

• 软件环境：MATLAB R2016a 或更高版本。
• 工具箱依赖：Signal Processing Toolbox（信号处理工具箱）。

详细功能实现逻辑

系统运行流程严格遵循以下六个阶段：

1. 连续信号生成

系统设定了三个频率分量（50Hz, 150Hz, 300Hz），分别对应不同的振幅和相位初值。采用极高采样频率（步长0.0001s）构建模拟连续信号的参考序列。通过傅立叶级数的叠加原理，计算并合成时间跨度为0.1秒的原始复合信号。

2. 离散采样模拟

系统针对合成信号执行两种采样策略：

• 过采样/临界采样：设定采样率为1200Hz（大于信号最高频率300Hz的两倍），用于获取无失真的离散序列。
• 欠采样：设定采样率为400Hz（低于奈奎斯特频率600Hz），故意引发频率混叠现象。

3. 频谱分析

系统应用FFT算法将时域序列转换至频域。通过对FFT结果进行幅值归一化处理（除以序列长度）并提取单边频谱，解析出信号在不同采样条件下的实际频率构成。这一步清晰地揭示了采样率不足导致的高频分量向低频搬移的现象。

4. IIR滤波器构建

系统通过给定性能指标（通带截止频率、阻带截止频率、衰减增益）实现设计：

• 巴特沃思低通：利用有效阶数选择函数计算最小阶数，生成具有最平坦幅频特性的低通滤波器，用于保留50Hz分量。
• 切比雪夫带通：利用等波纹特性设计带通滤波器，目标指向150Hz中心频率的信号提取。

5. FIR滤波器构建

系统采用窗函数法设计线性相位滤波器：

• Hamming窗低通：设定固定阶数，生成通带平滑的低通响应。
• Blackman窗高通：利用Blackman窗较高的旁瓣抑制能力，设计截止频率为200Hz的高通滤波器，用于提取300Hz高频信号。

6. 信号处理应用与评估

将设计好的滤波器应用于1200Hz采样序列。系统执行时域滤波运算，计算滤波后信号的频谱分布，并将滤波后的时域波形、频谱与原始信号进行重叠对比分析，从而验证滤波器在特定频率成分提取方面的有效性。

关键算法与算法细节

• FFT幅值校正：在计算频谱时，通过对FFT输出进行长度归一化并乘以2（除直流分量外），确保频域图中的幅值与信号合成阶段设定的振幅参数保持一致。
• 巴特沃思阶数估算（buttord）：根据给定的通带波纹Rp和阻带衰减Rs，动态计算达到预定性能所需的最低滤波器阶数，以优化计算效率。
• 窗函数卷积（fir1）：在FIR设计中，通过特定窗函数（Hamming/Blackman）对理想低通/高通脉冲响应进行加窗截断，有效抑制吉布斯现象导致的阻带波动。
• 归一化频率处理：在调用所有滤波器设计函数时，频率参数均根据当前采样率进行归一化映射（fc / (Fs/2)），确保滤波器特性在不同采样频率下都能得到正确部署。
• 时域滤波（filter）：采用标准差分方程的形式，将滤波器系数作用于离散时间序列，实现信号的实时/后处理转换。