基于梯度法的简易光流场计算程序

资 源 简 介

该项目提供了一种使用MATLAB环境实现的简单光流场计算方案，主要用于分析和检测连续图像序列中的物体运动。其核心原理基于图像亮度的时空梯度变化，通过应用光流约束方程来估算像素点的运动矢量。程序逻辑首先对输入的一对或多帧连续灰度图像进行空间（x, y方向）和时间维度的导数计算，获取亮度变化的梯度信息。随后，利用这些梯度数据并结合简化的约束条件（如局部区域一致性假设），通过数学矩阵运算求解出每个像素点在水平和垂直方向上的移动速度分量。该实现侧重于算法的简洁性与可读性，没有使用复杂的第三方工具箱，完全依靠MAT

详 情 说 明

基于梯度法的简易MATLAB光流场计算项目

项目介绍

本项目实现了一个基于经典梯度法（Lucas-Kanade 算法）的光流场计算模型。该模型通过分析连续两帧图像序列中亮度的时空梯度变化，推导出图像中像素点的运动矢量。该项目旨在提供一个纯净、无第三方工具箱依赖的算法原型，展示光流场估计的基本数学原理和实现流程，非常适合计算机视觉初学者理解亮度恒定假设和局部一致性假设。

功能特性

• 自主生成测试序列：内置模拟数据生成功能，可产生带噪声并具有预设位移（dx=3, dy=2）的运动圆环图像序列。
• 鲁棒的梯度计算：采用特定的 $2 times 2$ 卷积核进行空间与时间维度的导数提取，结合跨帧平均技术增强对噪声的抵抗力。
• 局部约束求解：应用 Lucas-Kanade 局部区域一致性假设，通过最小二乘法求解超定方程组，估算最优运动矢量。
• 病态区域过滤：通过矩阵条件数及行列式检查，自动识别并排除纹理缺失（如纯色区域）导致的无效估值。
• 多维度可视化：提供原始序列对比、降采样位移矢量图以及运动幅度热力图的综合展示。

使用方法

1. 确保您的计算机上已安装 MATLAB 环境。
2. 将程序代码文件放置在 MATLAB 的工作路径下。
3. 在命令行窗口直接运行该程序的主函数。
4. 程序将自动生成模拟运动图像并弹出计算结果的可视化图形窗口。
5. 观察命令行输出的预设位移与实际估计位移的对比结果。

系统要求

• MATLAB R2016a 或更高版本。
• 无需安装 Image Processing Toolbox（程序已内置所需的基础图像处理辅助函数）。

实现逻辑与算法细节

#### 1. 模拟环境构建 程序首先创建两帧 $256 times 256$ 的灰度图像。在第一帧中绘制一个中心位于 (128, 128) 的圆。在第二帧中，将该圆移动至 (131, 130)。为了模拟真实场景，程序向图像中添加了随机高斯噪声，并利用内置的高斯滤波算法进行平滑处理，以优化后续的一阶导数计算。

#### 2. 时空梯度估计 程序核心基于光流约束方程 $I_x u + I_y v + I_t = 0$。

• 空间梯度 ($I_x, I_y$)：利用四像素平均差分算子计算水平和垂直方向的亮度变化。
• 时间梯度 ($I_t$)：通过两帧图像之间的像素差值并结合空间平均，获取随时间演变的亮度变化率。

#### 3. 最小二乘求解 由于光流约束方程在单个像素点上有两个未知数（$u, v$），程序引入了 $9 times 9$ 的局部窗口假设，即认为该窗口内所有像素的运动矢量一致。

• 构建方程组：将窗口内 81 个像素的梯度数据组合成矩阵 $A$ 与向量 $b$。
• 正规方程求解：计算 $A^T A$ 的逆矩阵来获得最小二乘解。
• 数值稳定控制：通过检查 $A^T A$ 的矩阵行列式（需大于 $1e-6$）和条件数（需小于 $1e6$）来确保结果的可靠性，避免在图像平滑区域产生错误的运动估计。

#### 4. 可视化与评估

• 矢量场展示：为了防止箭头过密，程序对计算出的光流场进行了 8 倍降采样处理，使用红色箭头（Quiver 图）叠加在原始图像上显示运动方向和大小。
• 运动强度：通过计算每个像素点的模长 $sqrt{u^2 + v^2}$ 生成热力图，直观反映运动物体的轮廓。
• 精度验证：程序最后会统计运动幅度大于阈值的像素点，计算其平均运动分量，并与预设的偏移量（3.0, 2.0）进行比对，以验证算法的准确性。

关键辅助功能

程序内部集成了一个自定义的高斯算子生成函数，用于在不依赖额外工具箱的情况下生成标准的高斯卷积核，确保了程序在基础 MATLAB 环境下的独立运行能力。