随机滤波与最优估计仿真系统

资 源 简 介

本项目紧密结合蔡远利教授关于随机滤波与最优估计的理论研究，旨在构建一套完整的状态估计仿真系统。项目核心功能涵盖线性卡尔曼滤波以及针对非线性系统的扩展卡尔曼滤波（EKF）和无迹卡尔曼滤波（UKF）的实现。通过对动态系统中的状态转移过程和传感器观测过程进行随机建模，利用最小方差估计准则，在存在过程噪声和测量噪声的环境下实现对系统真实状态的最优追踪。系统支持自主定义系统方程、噪声协方差统计特性以及初始状态，能够广泛应用于导航定位、目标跟踪、工业控制及信号处理等领域。此外，项目还包含了一套完整的误差分析工具，用于

详 情 说 明

随机滤波与最优估计MATLAB仿真及非线性滤波算法研究

项目介绍

本项目是一个基于MATLAB开发的综合性状态估计仿真系统，专注于研究随机系统中的最优估计理论。通过构建典型的动力学模型，系统实现了对线性与非线性滤波算法的深度对比分析。项目的核心目标是在存在过程噪声和测量噪声的动态环境下，利用最小方差估计准则实现对目标真实状态（位置与速度）的精确追踪。该系统能够模拟真实世界中的传感器观测过程，特别是针对非线性雷达测距场景，评估不同滤波器在复杂环境下的表现。

项目核心功能

• 多算法并行仿真：系统集成了三种核心滤波算法：线性近似卡尔曼滤波（KF）、扩展卡尔曼滤波（EKF）以及无迹卡尔曼滤波（UKF），允许在同一仿真环境下对比其性能。
• 复杂动力学建模：采用匀速运动（CV）模型作为状态转移基础，通过状态转移矩阵描述目标的动态演化。
• 非线性观测模拟：模拟了一个位于坐标(0, 50)的雷达站，通过非线性距离公式获取目标位置的观测数据，并引入高斯白噪声。
• 全方位性能评估：提供了一套完整的误差指标计算工具，包括均方根误差（RMSE）、实时绝对误差、滤波残差序列以及误差协方差矩阵的收敛性分析。
• 可视化分析：自动生成包含状态轨迹对比、误差曲线、协方差收敛历程及残差分布统计的综合性图表。

算法实现逻辑与细节

#### 1. 系统建模与数据生成

• 状态空间定义：系统状态向量包含位置和速度两个维度。使用离散化状态转移矩阵 $F = [1, T; 0, 1]$ 驱动目标演化。
• 噪声注入：通过多元正态分布生成过程噪声 $Q$ 和测量噪声 $R$，确保仿真环境符合随机系统的统计特性。
• 真值与观测生成：通过迭代计算生成目标的理想轨迹序列，并根据非线性距离映射公式生成带噪声的传感器测量值。

#### 2. 非线性滤波实现

• 线性近似卡尔曼滤波 (KF)：在处理非线性观测矩阵时，采用了在预测点执行线性化近似的方法，通过计算瞬时观测矩阵 $H$ 来适配标准卡尔曼更新方程。
• 扩展卡尔曼滤波 (EKF)：通过计算观测方程关于预测状态的雅可比矩阵（Jacobian Matrix）来实现对非线性函数的局部线性化。系统在每一个时间步长实时更新观测矩阵 $H_j$，从而指导增益 $K$ 的计算。
• 无迹卡尔曼滤波 (UKF)：采用无迹变换（Unscented Transform）处理非线性。其实现细节包括：

* Sigma点生成策略：基于状态估计值和归一化协方差矩阵，使用Cholesky分解生成一组对称分布的Sigma采样点。 * 加权统计更新：通过预设的权重系数（$W_m$, $W_c$）对经过非线性映射后的Sigma点进行均值和协方差的重新构建。 * 参数配置：使用典型的 $alpha$ (1e-3)、$beta$ (2) 和 $kappa$ (0) 参数配置，以平衡估计精度和数值稳定性。

#### 3. 误差评估系统

• RMSE计算：对整个时间序列的位置估计误差进行平方和平均后再开方，作为衡量算法整体精度的核心指标。
• 协方差追踪：实时记录并提取误差协方差矩阵 $P$ 的第一个对角元素 $P_{11}$，用于观察滤波器对估计确定性的演变过程及收敛速度。
• 残差分析：计算测量值与预测值之间的差异（即创新序列），并通过直方图分析残差是否符合均值为零的高斯分布，从而判断滤波器的相容性。

系统要求

• 环境需求：MATLAB R2016b 或更高版本。
• 工具箱需求：Statistics and Machine Learning Toolbox（用于处理 mvnrnd 等分布生成函数）。

使用方法

1. 参数控制：在主程序起始位置，用户可根据需要修改采样周期 $T$、仿真步长 $N$、以及噪声协方差矩阵 $Q$ 和 $R$ 的取值。
2. 启动仿真：直接运行主执行脚本，系统将自动依次执行数据生成、KF滤波、EKF滤波和UKF滤波。
3. 结果解读：

* 观察命令行输出：系统会打印各算法的运行总耗时及位置维度的RMSE数值。 * 观察仿真图表： * 左上图：比较各算法追踪真实轨迹的能力。 * 右上图：分析随时间变化的瞬时误差峰值。 * 左下图：判断滤波过程是否稳定，协方差是否最终收敛到常数或小范围内。 * 右下图：利用统计分布验证非线性滤波算法在当前噪声等级下的性能一致性。