非均匀有理B样条曲线拟合系统

资 源 简 介

本项目旨在MATLAB环境下开发一套完整的非均匀有理B样条（NURBS）曲线拟合程序，专门用于处理离散数据点的平滑重构与几何建模。程序的核心逻辑包括： 首先，对输入的离散采样点进行参数化处理，支持弦长参数化法和向心参数化法，以确保节点矢量能够准确反映数据点的分布特征。 其次，系统利用最小二乘拟合原理（Least Squares Fitting），通过构建并求解超定线性方程组来计算最优的控制点序列，确保生成的曲线在整体趋势上达到最优逼近。 程序支持用户自定义曲线的阶数（通常为3阶或5阶）以及控制点的数量，从

详 情 说 明

非均匀有理B样条（NURBS）曲线拟合算法实现系统

项目介绍

本项目是一套在MATLAB环境下实现的NURBS曲线拟合系统。该系统专注于处理3D离散采样数据，通过数学建模与优化算法将杂乱的样点重构为平滑的几何曲线。系统不仅支持基础的B样条拟合，还通过引入权重因子实现了向NURBS的扩展，能够高精度地逼近自由曲线并提供详细的误差分析。其核心应用场景包括逆向工程、机器人轨迹平滑及工业CAD建模。

功能特性

1. 多元参数化支持：提供弦长参数化法和向心参数化法，确保节点分布与原始数据的几何特征相契合。
2. 最小二乘优化：利用最小二乘原理求解超定线性方程组，获取全局最优的控制点序列。
3. 参数灵活配置：允许用户自由设定曲线阶数（如3阶、5阶）及目标控制点数量，平衡拟合精度与曲线平滑度。
4. NURBS权重调节：支持对控制点进行权重赋值，具备精确表示解析形状的潜力。
5. 全方位误差评估：自动计算平均误差、最大误差及标准差，并绘制欧氏距离误差分布曲线。
6. 三维可视化交互：同步展示原始样点、拟合出的NURBS曲线以及控制多边形，直观反映拟合质量。

使用方法

1. 数据准备：在主程序开头定义或导入三维离散采样点矩阵（N行3列）。
2. 参数设置：根据需求修改曲线阶数（p）、预期控制点数（n_ctrl）及参数化方法（'chord' 或 'centripetal'）。
3. 执行计算：运行程序，系统将依次执行参数化、节点矢量生成、矩阵构建及方程求解。
4. 结果查看：程序将自动在命令行输出误差拟合报告，并弹出三维模型图与误差分析图。

系统要求

1. 软件环境：MATLAB R2016b 或更高版本。
2. 硬件要求：无特殊要求，标准PC即可平稳运行大规模采样点拟合。

实现逻辑与功能细节

该系统的实现流程严格遵循计算机辅助几何设计（CAGD）的标准流程：

1. 数据预处理与参数化

系统首先对输入的离散点进行参数化处理。通过计算相邻样点间的距离，将空间点映射到 [0, 1] 范围内的参数轴上。

• 弦长法：直接使用点间欧氏距离，适用于点分布均匀的情况。
• 向心法：使用距离的平方根，在处理大曲率波动时具有更好的参数分布鲁棒性。

2. 节点矢量构建

系统采用非周期（Clamped）节点矢量生成策略。

• 边界约束：节点矢量的前 p+1 个元素和最后 p+1 个元素分别被强制设为 0 和 1，确保曲线通过起始点和终点。
• 内部节点：通过内部逻辑计算中间节点分布，当前版本采用线性等分方式补偿，确保基函数的支撑区间能够覆盖整个参数范围且保持单调。

3. 基函数与系统矩阵计算

利用 Cox-de Boor 递归公式求解 B 样条基函数。

• 递归逻辑：从 0 阶基函数出发，通过数值递归计算到目标 p 阶。
• NURBS 扩展：在构建基函数矩阵 A 时，系统将每个基函数值与对应的控制点权重相乘，并进行归一化处理（除以所有带权基函数之和）。

4. 控制点反求（最小二乘法）

针对采样点数远大于控制点数的情况，系统构建超定方程组。利用矩阵转置与求逆运算求解最优控制点位置，使生成的曲线与原始数据点之间的平方误差和达到最小。

5. 曲线重采样与误差评价

为了验证拟合效果，系统在 [0, 1] 范围内均匀重采样，利用求得的控制点和节点矢量重新计算曲线坐标。同时，计算每个原始样点到对应参数下拟合点之间的欧氏距离，生成统计学评价指标。

关键函数与算法分析

• 参数化模块：通过累加弦长分量实现归一化映射，是后续所有计算的坐标基石。
• 节点矢量模块：决定了基函数的分布区间，直接影响曲线的局部特性与形状灵活性。
• Cox-de Boor 递归模块：算法的核心，通过处理参数区间的逻辑判断，确保在任意参数 u 下都能计算出非零的基函数集合。
• 评估与渲染模块：通过三维 plot3 绘图将控制多边形的拓扑结构与最终曲线的几何形态对比显示，辅助分析拟合现象。