基于贝叶斯压缩感知的稀疏信号恢复系统

资 源 简 介

该项目旨在开发一个基于贝叶斯框架的压缩感知信号重建平台，其核心功能是利用采样率远低于奈奎斯特频率的观测数据来精确还原宽带或稀疏信号。系统采用分层贝叶斯模型，将待恢复信号的稀疏特性转化为参数化的先验分布，通过引入超参数来表征每个信号元素的方差。实现方法主要基于相关向量机理论，利用快速边际似然最大化算法进行迭代优化，能自动在计算效率与恢复精度之间取得平衡。相比传统的L1范数优化方法，该项目具有显著的应用优势：它不需要预先知道信号的稀疏度或观测噪声的确切方差，且能够为每一个重建样本点提供置信度评价。该功能支持在

详 情 说 明

基于贝叶斯压缩感知的稀疏信号恢复系统

项目介绍

本系统是一个基于贝叶斯框架的稀疏信号重建平台。项目核心在于利用贝叶斯推断理论，从远低于奈奎斯特采样率的降维观测数据中，高精度地还原原始稀疏信号。系统通过将信号的稀疏先验转化为分层概率模型，利用相关向量机（Relevant Vector Machine, RVM）的原理，在不需要预先知道信号稀疏度或环境噪声方差的情况下，实现自适应的信号恢复与参数估计。

功能特性

1. 高效稀疏推断：采用快速边际似然最大化算法，通过迭代式的增加、更新或删除基向量，快速逼近最优解。
2. 自适应噪声估计：算法能够依据观测数据动态估算环境噪声方差，具备极强的鲁棒性。
3. 置信度量化：系统不仅提供信号的估计值，还能计算每个重建样本点的后验方差，给出 95% 的置信区间评价。
4. 全自动停止准则：通过监控边际似然函数的增量，当算法收敛至预设阈值时自动停止，避免冗余计算。
5. 数值稳定性优化：在矩阵运算中引入 Cholesky 分解以及 Woodbury 矩阵恒等式，确保在大规模数据下的计算效率与数值稳定性。

核心实现逻辑

系统主要包含五个核心阶段，逻辑流程严格遵循贝叶斯建模与优化过程：

1. 仿真环境构建

系统首先生成一个长度为 512 的高斯随机稀疏信号（Sparse Signal），通过一个 128x512 的高斯随机感知矩阵进行压缩采样。为了模拟真实环境，感知矩阵经过列归一化处理，并向采集到的观测向量中加入 30dB 的加性高斯白噪声。

1. 分层贝叶斯建模

算法为待恢复信号的每个元素分配一个由超参数 alpha 表征的先验分布。alpha 的倒数代表了信号成分的方差。初始状态下，绝大多数 alpha 被设为无穷大，表示信号基完全稀疏；随着迭代进行，有效的信号基会被逐一识别并保留。

1. 快速边际似然最大化迭代

这是算法的核心优化环节，在每一次迭代中，系统执行以下操作：

• 后验统计量计算：利用当前已选入模型的基向量，计算后验协方差矩阵 Sigma 和后验均值 mu。
• 特征因子评估：计算所有维度的因子 S（Sparsity factor）和 Q（Quality factor），用于评估各个基向量对模型贡献的潜力。
• 决策机制：根据 theta 值（Q 的平方与 S 之差）以及对数似然函数的增量（Delta L），决定采取三种行动之一：添加新基、更新现有基的 alpha 值或删除冗余基。
• 噪声精度更新：利用当前重建误差和有效参数个数（Gamma）实时调整噪声方差估计 beta。

1. 信号重建与置信度评价

迭代完成后，系统利用最终确定的后验均值重构信号。同时，利用后验协方差矩阵的对角线元素计算重建结果的不确定度，得到每个样本点的信赖程度。

1. 多维度评估与可视化

系统计算峰值信噪比（PSNR）、归一化重建误差以及 MSE 等指标，并通过四组图表直观展示结果，包括信号对比、置信区间分析、收敛曲线和误差分布图。

关键术语讲解

• 感知矩阵（Measurement Matrix）：用于将高维稀疏信号投影到低维空间的线性算子。
• 超参数 alpha：控制信号稀疏度的关键参数，数值越大，对应的信号元素越趋向于零。
• S 因子与 Q 因子：分别代表了基向量在模型中的重合程度（结构信息）以及对观测数据的拟合贡献。
• Woodbury 恒等式：用于加速大规模矩阵求逆的数学技巧，将高阶矩阵求逆转化为低阶矩阵运算。

系统要求

• 开发环境：MATLAB R2016b 或更高版本。
• 基本库支持：无需第三方工具箱，仅需标准 MATLAB 内置函数（如 chol, inv, randn, stem 等）。
• 硬件要求：标准桌面级 CPU 即可，由于采用了矩阵优化算法，内存在处理 512 维及以上信号时表现高效。

使用方法

1. 启动 MATLAB 环境。
2. 直接运行核心控制脚本。
3. 脚本将自动启动仿真，在命令行界面实时输出恢复报告（包括压缩比、噪声方差估计、PSNR 等）。
4. 运行结束后，系统将自动弹出可视化窗口，展示重建信号与原始信号的匹配度及其置信度曲线。