德洛内三角剖分与有限元刚度矩阵集成系统

资 源 简 介

该项目利用MATLAB强大的数值计算能力，实现了一套完整的基于德洛内（Delaunay）三角分解的有限元分析前处理系统。其核心逻辑在于通过输入的一组离散点集，自动构建满足空圆律的高质量三角形网格剖分，生成单元形状优良的网格体系，有效解决了复杂几何区域下的网格自动化生成难题，避免了窄长三角形对数值稳定性的影响。 在网格生成的基础上，系统进一步实现了有限元核心计算功能。通过定义单元位移插值函数和应变-位移关系矩阵，程序能够自动针对每一个生成的三角形单元进行高斯积分，计算出反映单元受力特性的局部刚度矩阵。随后，

详 情 说 明

基于德洛内三角分解的有限元网格划分与总刚度矩阵集成系统

项目介绍

本项目是一款基于 MATLAB 开发的有限元分析（FEA）辅助工具。它专注于有限元分析的前处理阶段及核心代数方程的构建。系统能够接收离散的几何边界信息，通过德洛内（Delaunay）三角剖分算法自动生成高质量的计算网格，并在此基础上完成单元刚度矩阵的推导与全局总刚度矩阵的稀疏组装。该系统为后续的结构力学分析、位移场求解及载荷分析提供了坚实的数值基础。

功能特性

• 自动化高质量网格剖分：结合边界节点与内部随机散点，利用德洛内三角化技术生成满足空圆律的三角形单元，确保网格形状优良，避免病态单元。
• 灵活的本构模型支持：系统内置了平面应力（Plane Stress）与平面应变（Plane Strain）两种本构关系计算逻辑，可根据物理模型自由切换。
• 高精度的单元刚度矩阵计算：采用常应变三角形单元（CST）理论，通过几何形状参数直接构造应变-位移关系矩阵（B 矩阵），精确推导局部刚度特性。
• 高效的全局矩阵组装：采用稀疏矩阵索引映射算法，针对大规模自由度系统实现快速、低内存占用的总刚度矩阵集成。
• 可视化诊断输出：直观展示生成的有限元网格布局及全局总刚度矩阵的非零元素分布图（Sparsity Pattern），辅助用户评估模型质量。

使用方法

1. 环境准备：确保工作环境中安装有 MATLAB 及其数值计算工具箱。
2. 执行计算：运行主程序脚本。系统将自动执行几何定义、散点加密、德洛内剖分、材料属性定义、刚度集成以及结果可视化。
3. 数据查看：通过 MATLAB 控制台获取节点总数、单元总数以及全局矩阵的维度信息；通过弹出的图形界面观察物理空间网格分布与代数空间矩阵结构。

系统要求

• 软件环境：MATLAB R2016b 或更高版本。
• 硬件环境：标准的桌面级计算设备，内存需足以支持所定义的节点规模下的稀疏矩阵运算。

实现逻辑与算法细节

程序严格按照有限元分析的标准化流程进行逻辑组织，具体步骤如下：

1. 几何区域定义与散点生成 程序定义了一个矩形物理区域（1.0m x 0.5m）。首先在边界上依据定义的密度均匀分布节点，随后使用随机数生成器在区域内部产生散点。这种做法增加了网格的复杂性和通用性，模拟了真实工程中不规则点集的处理过程。

2. 德洛内（Delaunay）三角剖分算法 利用 delaunay 算法将所有节点集连接成三角形序列。该算法保证了任何一个三角形的单元外接圆内不包含其他节点，从而最大限度地提高三角形的最小内角，提升数值计算的稳定性。

3. 材料本构矩阵构造 根据选择的平面问题类型（默认为平面应力），由弹性模量（E）和泊松比（nu）构建 3x3 的本构矩阵 D。这一步骤为应力与应变之间的物理联系建立了数学模型。

4. 常应变三角形单元（CST）数值积分 针对每一个生成的三角形单元进行以下操作：

• 几何参数计算：通过单元节点的坐标计算三角形的面积 A 以及几何特征常数 a, b, c。
• B 矩阵构建：建立 3x6 的应变-位移关系矩阵，将节点位移映射到单元应变。
• 单元刚度矩阵计算：执行矩阵乘法 $Ke = B^T cdot D cdot B cdot t cdot A$（其中 t 为板厚），生成 6x6 的局部刚度矩阵。

5. 稀疏矩阵组装技术 为了高效处理大规模方程组，系统维护了三个向量（IK, JK, VK）。在遍历单元时，程序根据节点编号将局部自由度（每个节点包含 u, v 两个自由度）映射到全局自由度索引中，并将计算结果记录在稀疏索引三元组内。最后利用这些索引一键生成全局总刚度矩阵 K。

6. 可视化分析

• 网格图：展示节点位置与单元边界，验证几何描述的完整性。
• 稀疏结构图（Spy Plot）：展示全局总刚度矩阵的带状稀疏特性，反映了有限元法中节点间的拓扑连接关系。
• 数据流输出：在控制台详细打印模型规模参数及首个单元的刚度矩阵数值示例，以便进行算法验证。